数值分析

● 结构合理

内容安排上由易到难，逐步深入，易教易学，课程理论体系严谨完善。

● 例题丰富

配有例题、习题及上机实验题，提供数值计算方法的MATLAB程序。

● 思政融合

设置“数学家和数学家精神”模块，讲述我国优秀数学家的科学精神。

随着科学技术的日新月异，计算机科学与技术以及计算技术的飞速发展，科学计算突破了实验和理论的局限，数学作为解决复杂问题的基础工具，其重要性愈发凸显。数值分析，作为数学的一个重要分支，广泛应用于工程、物理、经济、金融等众多领域，发挥着越来越重要的作用。数值分析，又称为数值计算方法或计算数学，是研究用计算机求解数学问题的数值近似解的方法及其理论的学科。它不仅关注算法的有效性和稳定性，也关心算法的计算复杂性。作为科学计算的核心课程，数值分析是许多工科专业本科生的必修课程和理工科专业研究生的学位课程。

本书系统地介绍了数值分析中基本的数值计算方法，一些现代数值方法及其有关理论分析，主要内容包括解线性方程组的高斯消去法、LU分解、追赶法与平方根法、三种经典迭代法，解非线性方程（组）的二分法、牛顿法和割线法，插值法与曲线拟合，数值积分与数值微分，矩阵特征值问题的数值解法，常微分方程的数值解法等。本书除了介绍常用的算法外，还强调算法的基本原理和基本理论分析，阐述严谨、详略得当、条理分明，各章内容相对独立。为了加深对书中内容的理解，精心编写了一定量的例题，在每章之后都配有习题，并在书末给出习题参考答案。本书介绍的数值方法都配有具体的计算步骤，并且大多数算法都配有详细的 MATLAB 程序代码，并通过算例展示应用程序求解相应的问题，因此学习本课程应加强上机实验环节的训练，为方便读者练习，每章后均配有适量的上机实验题。每章提供了数学家和数学家精神的事例，培养学生勇于探索、锲而不舍的钻研精神和精益求精的科学精神。本书涵盖了数值分析的主要研究领域，内容丰富、结构严谨，既注重数值分析的基本理论，又结合实际应用，使读者能够深刻理解数值分析的实用价值。本书配备了大量的习题，旨在帮助读者巩固所学知识，提高解决问题的能力。

此外本书还获得了西京学院研究生教材建设项目（2023YJC-04）的资助，在编写过程中参考了大量的优秀文献和资料，在此向原作者表示诚挚的谢意。同时感谢杜轻松、夏斌湖、吴静、章培军、贺艳琴、任水利6位老师在编写过程中的帮助。

虽经反复校对和多次讨论，但限于编者学识和水平，不妥之处在所难免，恳请读者批评指正。

前言

第1章 数值分析绪论 1
1.1 数值分析的研究对象 1
1.2 数值算法的基本概念 2
1.2.1 误差的来源 3
1.2.2 误差的度量 4
1.2.3 近似数的有效数字 5
1.3 数值算法设计的若干原则 7
1.3.1 避免两个相近的数相减 7
1.3.2 避免绝对值太小的数做
除数 7
1.3.3 要防止大数“吃掉”小数 8
1.3.4 简化计算步骤，提高计算
效率 8
1.3.5 要使用数值稳定的算法 9
习题1 9
实验题 10
第2章　线性方程组的解法 11
2.1 高斯消去法 12
2.1.1 顺序高斯消去法及其
MATLAB程序 12
2.1.2 列主元高斯消去法及其
MATLAB程序 15
2.2 LU分解 17
2.2.1 高斯消去法的矩阵表示 18
2.2.2 LU分解法 20
2.2.3 LU分解算法及其MATLAB
程序 22
2.3 追赶法与平方根法 24
2.3.1 解三对角方程组的追赶法 25
2.3.2 解对称正定方程组的
平方根法 28
2.4 范数和误差分析 32
2.4.1 向量范数 32
2.4.2 矩阵的范数 33
2.5 方程组的性态与条件数 34
2.6 迭代法的一般理论 37
2.6.1 迭代公式的构造 37
2.6.2 迭代的收敛性和误差估计 38
2.7 三种经典迭代法 40
2.7.1 雅可比迭代法 40
2.7.2 雅可比迭代法的算法及
MATLAB程序 42
2.7.3 高斯-赛德尔迭代法 44
2.7.4 高斯-赛德尔迭代法的算法
及其MATLAB程序 44
2.7.5 逐次超松弛迭代法 45
2.7.6 逐次超松弛迭代法的算法
及其MATLAB程序 46
2.7.7 三种经典迭代法的收敛
条件 47
2.8 基于MATLAB的线性方程组的
解法 50
习题2 52
实验题 54
第3章　非线性方程的数值解法 55
3.1 二分法 55
3.1.1 根的估计 55
3.1.2 二分法及其收敛性 55
3.1.3 二分法的算法及其MATLAB
程序 56
3.2 迭代法的基本原理 57
3.2.1 迭代法的基本思想 57
3.2.2 迭代法的算法及其MATLAB
程序 58
3.2.3 迭代公式的收敛性 59
3.3 迭代法的加速技巧 62
3.3.1 迭代法加速的基本思想 62
3.3.2 艾特金（Aitken）加速
方法 63
3.4 牛顿法 65
3.4.1 牛顿迭代法 65
3.4.2 牛顿迭代法的收敛性 66
3.4.3 牛顿下山法 67
3.4.4 重根情形的牛顿迭代法 68
3.5 割线法 69
3.5.1 割线法的迭代公式 69
3.5.2 割线法的算法及其MATLAB
程序 70
3.6 基于MATLAB的非线性方程求根
的解法 71
习题3 73
实验题 74
第4章　插值法与曲线拟合 75
4.1 插值法的基本理论 75
4.1.1 插值多项式的概念 75
4.1.2 插值基函数 76
4.1.3 插值多项式的截断误差 77
4.2 拉格朗日插值 78
4.2.1 拉格朗日插值基函数 78
4.2.2 拉格朗日插值多项式 79
4.3 牛顿插值 84
4.3.1 差商及其性质 84
4.3.2 牛顿插值多项式及其余项 85
4.4 厄尔米特插值及分段插值 88
4.4.1 两点三次厄尔米特插值 89
4.4.2 高阶插值的龙格现象 90
4.4.3 分段线性插值 92
4.4.4 分段三次厄尔米特插值 94
4.5 三次样条插值 94
4.5.1 分段插值法 95
4.5.2 三次样条插值法 95
4.6 曲线拟合的最小二乘法 101
4.6.1 最小二乘法 101
4.6.2 法方程组 104
4.6.3 正交最小二乘拟合 107
4.6.4 非线性拟合转化为线性拟合
问题 109
4.7 基于MATLAB的插值法与最小
二乘拟合 111
习题4 118
实验题 120
第5章 数值积分与数值微分 121
5.1 插值型求积公式和代数精度 121
5.1.1 数值积分基本思想 121
5.1.2 代数精度的概念 123
5.1.3 插值型的求积公式 125
5.1.4 求积公式的稳定性与
收敛性 128
5.2 牛顿-柯特斯公式 129
5.2.1 柯特斯系数与辛普森
公式 129
5.2.2 偶阶求积公式的代数
精度 131
5.3 复化求积公式 132
5.3.1 复化梯形公式 132
5.3.2 复化辛普森求积公式 134
5.3.3 复化柯特斯公式 135
5.4 龙贝格求积公式 138
5.4.1 梯形法的递推化 138
5.4.2 龙贝格算法 140
5.5 高斯求积公式 142
5.5.1 一般理论 143
5.5.2 高斯-勒让德求积公式 146
5.5.3 高斯-切比雪夫求积公式 148
5.5.4 高斯-拉盖尔求积公式 149
5.5.5 高斯-埃米尔特求积公式 150
5.6 数值微分 151
5.6.1 中点方法与误差分析 151
5.6.2 计算数值微分的插值法 152
5.6.3 计算数值微分的泰勒
展开法 155
5.6.4 计算数值微分的待定
系数法 155
5.7 基于MATLAB的数值积分与数值
微分的解法 156
习题5 158
实验题 159
第6章 矩阵特征值问题的数值解法 161
6.1 矩阵的有关理论 161
6.1.1 矩阵的特征值及其性质 161
6.1.2 特征值的估计与扰动 162
6.2 乘幂法与反幂法 164
6.2.1 乘幂法 164
6.2.2 反幂法 169
6.3 雅可比方法 173
6.4 QR分解 179
6.4.1 Householder变换 179
6.4.2 QR分解算法原理 181
6.4.3 QR分解算法及其MATLAB
程序 183
6.5 基于MATLAB的矩阵特征值
问题的数值解法 185
习题6 186
实验题 187
第7章 常微分方程的数值解法 188
7.1 常微分方程数值解法的基本
理论 188
7.2 离散变量法 189
7.2.1 差商代替导数法 189
7.2.2 泰勒展开法 189
7.2.3 数值积分法 190
7.3 欧拉方法及其改进 190
7.3.1 欧拉公式 190
7.3.2 欧拉方法的改进 192
7.3.3 局部截断误差和阶 192
7.4 龙格-库塔方法 197
7.4.1 龙格-库塔方法的基本
思想 197
7.4.2 龙格-库塔方法的推导 198
7.5 稳定性与收敛性 203
7.5.1 算法的稳定性 203
7.5.2 算法的收敛性 205
7.6 线性多步法 206
7.6.1 线性多步公式的导出 207
7.6.2 常用的线性多步公式 209
7.7 基于MATLAB的常微分方程的
数值解法 214
习题7 217
实验题 218
习题答案 219
参考文献 234

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