应用数学

紧贴职业教育的职业属性

各层次各专业可弹性选择

配套丰富多样的数字资源

融入思政元素和人文元素

姜大源在《高等职业教育的定位》中指出：“培养目标指向高技能人才培养的高等职业教育，应遵循基于职业属性的教育规律。”“应用数学”作为高等职业院校理工类、经管类专业学生的公共必修课，教材以高职专科、职业本科的人才培养目标以及普通高等院校专升本考试大纲为依据，以突出思想性、基础性、发展性、应用性、职业性为原则，结合专业课需求，满足学生可持续发展需要，围绕学生的个性需求和知识水平进行编写。本教材有如下特色：

一是内容编排的逻辑起点紧贴职业教育的职业属性，在保持数学课程知识体系科学性的同时，每一节的内容均按任务驱动法的教学步骤和流程进行知识点编排，按“问题情景（任务提出）—工具寻找（概念提出）—掌握技能（解题训练）—问题解决（任务完成）—结果合理性判断”的架构组织内容。每节的开始，提出一个实际问题，指出解决此问题所需要的数学知识技能，然后提出学习目标，随后开展知识学习，在掌握了相关知识技能后，每节的节末用所学知识技能解决开始提出的问题，使学生得到数学“有用”的收获，提高学习的主动性。

二是内容讲述适应高等职业院校学生的学情特点，降低难度，强化应用。根据高等职业院校学生学习基础偏弱的实际情况，在保证数学概念准确性的前提下，淡化理论推导，强化应用实效，尽量借助几何直观图形和实际意义阐述相关内容，内容由浅入深、简明扼要、通俗易懂。每章的章首设立了“课前导学”和“知识脉络”，帮助学生在章节学习前对整章的内容有框架性的了解，以提高学生学习的系统性。“知识脉络”的前置可以克服以往学习数学时“不识庐山真面目，只缘身在此山中”的不足。

三是教材内容适于各层次、各专业学生弹性选择使用，教材主体内容在满足后续专业课所需的前提下，按大多数省份高职毕业生专升本招生考试大纲进行编写，比如一元函数微分学及应用、一元函数积分学及应用、常微分方程等内容。同时，教材也可作为职业本科各专业高等数学教材使用，编排有二元函数微分学、二重积分、无穷级数等内容。各章节中还对有关知识点设置“进阶模块”，供不同需求的专业及学生选用。

四是注重教材内容与信息化教学资源的结合。为延展学生学习的时空，帮助学生有效地理解和掌握所学知识，对重要的知识点建有网络教学资源，配以视频讲解等。教材中每章最后针对本章的数学知识点设有“数学实训”，教会学生懂得操作软件MATLAB以解决数学问题，推动学生学习的参与度，激发学生的创新欲望，促进学生全面发展。多形态教学资源的组合有利于线下线上混合式的教学，培养学生的自主学习能力。

五是深入挖掘思政元素、人文元素、数学文化元素，并融入教材中。如每章的章首设置的“名人名言”，其中有伟大导师马克思、恩格斯、列宁对数学的高度评价；在每章的章末设置的“知识延展”，编排有“对极限概念作出贡献的中外数学家”“历史上的第二次数学危机”“马克思、恩格斯与微积分的渊源”“数学里的美学”“数学与语言学”“数学与艺术的交互融合”等内容，这些延展内容提升了学生的文化修养，使学生切身感受人文情怀，培养学生积极进取、脚踏实地的作风，增强学生的文化自信和爱国情怀。

六是教材配套较丰富的习题、章节测验题并提供参考答案，每节的习题与该节的内容匹配度高，帮助学生理解和掌握知识点。习题根据难易程度进行分层，以满足不同层次学生、不同专业的教学目标要求，通过一定量的习题训练，有助于提高学生的自信心，增加学习的兴趣。

本教材由吴小宁担任主编，邓积银担任副主编，参编人员有蒋邕平、钟毓、刘馨励、刘鑫琳、冯少卫等，所有编者均为具有丰富的高等职业院校教学经验的一线教师。教材在组织编写和统稿过程中，参考了大量高等数学相关文献，在此向这些文献的作者表示衷心的感谢。

在编写过程中，我们虽然期望尽力把工作做好，但由于水平有限，书中难免有不足之处，敬请广大专家及读者批评指正。

编 者

2024年3月

序
前言
第1章 变量与函数1
课前导学 1
知识脉络 1
1.1 区间、邻域 2
1.1.1 区间的概念2
1.1.2 邻域的概念3
1.2 函数4
1.2.1 函数的概念4
1.2.2 函数的基本特性6
1.3 初等函数8
1.3.1 基本初等函数9
1.3.2 复合函数11
1.3.3 初等函数12
1.3.4 分段函数12
数学实训一 MATLAB算法基础及绘图 13
知识延展 微积分：科学史上划时代的贡献17
第2章 极限与连续18
课前导学 18
知识脉络 18
2.1 极限的概念19
2.1.1 数列极限的定义19
2.1.2 函数极限的概念21
2.2 极限的运算25
2.3 两个重要极限28
2.3.1 第一个重要极限 29
2.3.2 第二个重要极限 31
2.4 无穷小量与无穷大量33
2.4.1 无穷小量与无穷大量的定义33
2.4.2 无穷小量与无穷大量的关系34
2.4.3 无穷小量的比较35
2.5 函数的连续性37
2.5.1 函数连续性的概念37
2.5.2 函数的间断点及分类39
2.5.3 连续函数的基本性质40
2.5.4 闭区间上连续函数的性质41
数学实训二 利用MATLAB求函数的极限 43
知识延展 对极限概念作出贡献的中外数学家44
第3章 一元函数微分学46
课前导学 46
知识脉络 46
3.1 导数的概念47
3.1.1 导数的定义47
3.1.2 导数的物理意义和几何意义51
3.1.3 函数的可导性与连续性的关系52
3.2 函数的求导法则53
3.2.1 导数的基本公式54
3.2.2 导数的四则运算法则55
3.2.3 复合函数求导法则56
3.2.4 隐函数求导法则57
3.3 函数的微分与应用61
3.3.1 微分的概念62
3.3.2 微分基本公式和运算法则63
3.3.3 微分在近似计算中的应用64
3.3.4 由参数方程表示的函数的导数65
3.4 高阶导数68
3.4.1 高阶导数的定义68
3.4.2 隐函数的二阶导数（进阶模块）69
3.4.3 参数方程表示的函数的
二阶导数（进阶模块）69
数学实训三 利用MATLAB求函数的导数 71
知识延展 历史上的第二次数学危机 72
第4章 微分中值定理
与导数的应用73
课前导学 73
知识脉络 73
4.1 微分中值定理与洛必达法则 74
4.1.1 罗尔（Rolle）中值定理74
4.1.2 拉格朗日（Lagrange）中值定理75
4.1.3 柯西（Cauchy）中值定理77
4.1.4 洛必达法则77
4.2 函数的单调性与极值82
4.2.1 函数的单调性83
4.2.2 函数的极值85
4.2.3 函数的最大值、最小值87
4.3 曲线凹凸性及函数作图90
4.3.1 函数曲线的凹凸性及拐点90
4.3.2 函数作图92
4.4 导数在经济分析中的应用95
4.4.1 边际分析95
4.4.2 弹性分析96
4.4.3 经济分析中的最值问题97
数学实训四 利用MATLAB求函数的极值 99
知识延展 马克思、恩格斯与微积分的渊源 101
第5章 一元函数积分学
及其应用102
课前导学 102
知识脉络 102
5.1 不定积分的概念与性质103
5.1.1 原函数与不定积分的概念103
5.1.2 不定积分的几何意义 105
5.1.3 基本积分公式105
5.1.4 不定积分的性质106
5.1.5 直接积分法107
5.2 不定积分的换元法与分部积分法108
5.2.1 第一类换元积分法109
5.2.2 第二类换元积分法111
5.2.3 分部积分法114
5.3 定积分的概念与性质117
5.3.1 定积分的概念118
5.3.2 定积分的几何意义121
5.3.3 定积分的性质122
5.3.4 积分变上限函数及其导数124
5.4 微积分基本公式和定积分的积分方法126
5.4.1 牛顿—莱布尼茨公式127
5.4.2 定积分的换元积分法128
5.4.3 定积分的分部积分法129
5.5 广义积分131
5.5.1 无穷区间上的广义积分132
5.5.2 无界函数的广义积分（进阶模块）133
5.6 定积分的应用135
5.6.1 平面图形面积135
5.6.2 旋转体体积138
5.6.3 平行截面面积已知的
立体体积（进阶模块）139
5.6.4 定积分在物理中的应用（进阶模块）140
数学实训五 利用MATLAB求函数的积分 142
知识延展 数学里的美学 143
第6章 常微分方程145
课前导学 145
知识脉络 145
6.1 微分方程的基本概念146
6.2 一阶微分方程150
6.2.1 可分离变量的微分方程150
6.2.2 齐次方程（进阶模块）152
6.2.3 一阶线性微分方程153
6.3 三类可降阶的微分方程157
6.3.1  型158
6.3.2 型（进阶模块）158
6.3.3 型（进阶模块）159
6.4 二阶线性微分方程161
6.4.1 二阶线性微分方程解的结构161
6.4.2 二阶常系数齐次线性微分方程的
求解163
6.4.3 二阶常系数非齐次线性微分方程的
求解（进阶模块）165
数学实训六 利用MATLAB求解微分方程 169
知识延展 数学建模：数学应用的显化 171
第7章 二元函数微分学172
课前导学 172
知识脉络 172
7.1 二元函数的概念、极限与连续性173
7.1.1 二元函数的概念173
7.1.2 二元函数的极限174
7.1.3 二元函数的连续性175
7.2 二元函数偏导数177
7.2.1 偏导数的概念178
7.2.2 高阶偏导数179
7.2.3 偏导数的几何意义180
7.3 全微分182
7.3.1 全微分的概念183
7.3.2 函数可微的条件184
7.3.3 全微分的计算185
7.3.4 全微分在近似计算中的应用185
7.4 二元复合函数求导法则187
7.4.1 二元复合函数的一阶偏导数187
7.4.2 二元复合函数的高阶
偏导数（进阶模块）190
7.4.3 隐函数的求导法则191
7.5 偏导数的应用194
7.5.1 二元函数的极值195
7.5.2 拉格朗日乘数法196
数学实训七 利用MATLAB求多元函数的
偏导数199
知识延展 数学与语言学 200
第8章 二重积分202
课前导学 202
知识脉络 202
8.1 二重积分的概念与性质203
8.1.1 二重积分的概念203
8.1.2 二重积分的性质206
8.2 二重积分的计算209
8.2.1 预备知识209
8.2.2 直角坐标系下二重积分的计算210
8.2.3 极坐标系下二重积分的计算216
8.3 二重积分的应用220
8.3.1 二重积分在几何中的应用220
8.3.2 二重积分在物理中的应用221
数学实训八 利用MATLAB求多重积分 226
知识延展 数学与计算机的不解之缘 227
第9章 无穷级数228
课前导学 228
知识脉络 228
9.1 常数项级数的概念与性质229
9.1.1 常数项级数的概念229
9.1.2 常数项级数的性质232
9.2 级数收敛判别法233
9.2.1 正项级数及其审敛法235
9.2.2 交错级数及其审敛法239
9.3 幂级数244
9.3.1 幂级数的概念244
9.3.2 幂级数收敛域的求法245
9.3.3 幂级数的性质248
9.4 函数展开成幂级数250
9.4.1 任意阶可导函数的泰勒级数251
9.4.2 几个基本初等函数的麦克劳林级数251
9.4.3 初等函数展开成幂级数252
数学实训九 利用MATLAB求和函数与
泰勒级数的应用254
知识延展 数学与艺术的交互融合 256
参考文献257

1. 零基础玩转国产大模型DeepSeek [徐永冰 张帅 编著]
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3. 信息系统项目管理师考试32小时通关（适用第4版考纲） [薛大龙]
4. 信息系统管理工程师考试32小时通关（适配第2版考纲） [薛大龙　刘伟]
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11. Vienna整流器技术 [桂存兵 著]
12. 变频器与伺服应用 [陈刚 叶云飞]
13. 物联网工程设计与实践 [汤琳 李敏]
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17. 信息技术基础（Windows 10+WPS Office）（微课版） [主编　石利平　田辉平　谢盛嘉]
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23. 计算机网络原理及应用 [主编 唐继勇 叶坤 孙梦娜]
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