大学应用数学

层次分明，语言简练。

引例导入，结合专业。

选题全面，学练结合。

数学实践，服务专业。

前言

本书是根据国家教育部制定的《高职高专教育高等数学课程教学基本要求》，结合目前职业教育专科层次教材针对性较差的实际情况而编写的。

对于普通高等学校（包括高职院校）理工类的电气自动化、电子信息、通信技术等专业来说，数学是一门非常重要的基础课，因为电气工程中的电路分析涉及大量的高等数学知识。然而，目前我国高职高专（高等数学）教材仍然沿袭着传统的学科体系思想，只讲授纯粹的数学知识，根本没有体现数学在电类专业中的广泛应用。这样的课程既不符合高校学生的实际水平，也不符合高校电类专业相关课程的教学需要，为了更好地给电类专业学生的课程学习和技术能力的发展提供有效的支撑，我们尝试着改革传统的高等数学课程，重建和编写一本适合于高职高专电类专业的应用数学教材。

在本书编写过程中，编者与学院电类专业任课教师交流，充分采纳各方面的建议，贯彻“以应用为目的，以够用为度”的原则，注重对学生基本运算能力和分析问题、解决问题能力的培养，并遵循“突出思想分析，立足能力培养，强化实际应用”的理念，尽可能做到深人浅出、由易到难，切合高职高专教育的教学规律，力求学生及教师使用方便。更为重要的是，我们选取了大量与电路分析密切相关的例题和习题，将它们编排到相应知识的教学过程中，使之广泛而深入地融合到数学中，这是我们在高等职业教育领域数学课程改革与创新中的一个大胆而有益的探索。

为改变当前教材所需学时数与实际学时数相脱节的状况，我们根据目前数学教材中存在的问题，进行了学时数压缩和部分章节内容的增删、调整与合并。

本次编写旨在打造具有特色、体现信息化技术发展要求的高职高专数学教材。具体来说，本书具有以下特色：

（1）层次分明，语言简练。本书内容共分１０章，每个章节的知识由易到难、逐步深入，为体现高职教育特色，本书在叙述上浅显易懂，注重数学概念的直观解释和数学思想方法的渗透，定理的表述自然、简明，可让学生无障碍学习。

（2）引例导入，结合专业。本书许多知识点都通过引例导入，让学生带着问题学习，能有效激发学生的学习兴趣，这些引例来源于专业和生活，加强了数学与专业及生活的联系，有利于培养学生的数学应用意识，提高数学知识的应用能力。

（3）选题全面，学练结合。本书不仅在正文中穿插有精选的例题，帮助学生及时理解相关的数学概念，也在每节后配有多种类型的习题，以帮助学生梳理知识脉络，掌握基础知识和常用的数学方法。

（4）数学实践，服务专业。本书最后一章包含数学建模和数学实验，选取了一些实际案例，用数学建模的思想和方法及计算机软件来解决数学计算问题，体现数学知识在各领域的广泛应用。

本书由长沙航空职业技术学院郭立娟任主编，麻晓刚、徐小蓉、汪朝晖、吴跃明、龚碧玲、陈立东、雷志金、戴庆华、黄明秋参与编写。全书由郭立娟统稿，朱国军审核。

在本书编写过程中，我们参考了众多院校教师编写的教材和相关资料，在此表示感谢！同时对我校积极支持本教材编写和出版的各位领导表示衷心的感谢！

由于编者水平有限和时间紧迫，书中难免有欠缺和不妥之处，恳请读者提出宝贵意见，以便我们进行修订和完善。

目　录
前 言
第1章　极限与连续1
1.1　函数1
1.1.1　区间和邻域2
1.1.2　函数的定义3
1.1.3　函数的四种特性4
1.1.4　反函数7
1.1.5　初等函数7
1.1.6　建立函数关系举例12
习题1.114
1.2　极限的概念15
1.2.1　数列的极限16
1.2.2　函数的极限17
习题1.220
1.3　极限的计算21
1.3.1　极限的四则运算
法则21
1.3.2　无穷小与无穷大 22
1.3.3　常见的几个求函数
极限的方法25
1.3.4　重要极限
和26
习题1.328
1.4　函数的连续性29
1.4.1　函数在点处的
连续性 29
1.4.2　函数在区间上的
连续性31
1.4.3　函数的间断点32
1.4.4　初等函数的连续性33
1.4.5　闭区间上连续函数的
性质34
习题1.435
第2章　导数与微分36
2.1　导数的概念36
2.1.1　引例36
2.1.2　导数的定义38
2.1.3　求导数举例 39
2.1.4　导数的几何意义42
2.1.5　可导与连续的关系43
习题2.145
2.2　函数的和、差、积、商的求导法则45
习题2.248
2.3　复合函数的求导法则49
2.3.1　复合函数的求导
法则49
2.3.2　高阶导数51
习题2.353
2.4　函数的微分54
2.4.1　微分的定义54
2.4.2　微分的几何意义56
2.4.3　微分公式与微分运算
法则56
2.4.4　微分在近似计算中的
应用58
习题2.461
第3章　导数的应用62
3.1　洛必达法则62
3.1.1　未定式型极限的
求法62
3.1.2　未定式型极限的
求法63
3.1.3　其他类型的未定式
极限的求法65
习题3.166
3.2　函数的单调性和极值67
3.2.1　函数的单调性67
3.2.2　函数的极值69
习题3.274
3.3　函数的最大值和最小值74
3.3.1　求闭区间上连续函数的最大值和最小值75
3.3.2　实际问题应用 76
习题3.378
第4章　不定积分80
4.1　原函数与不定积分的概念80
4.1.1　原函数的概念80
4.1.2　不定积分的定义81
4.1.3　不定积分的性质82
4.1.4　不定积分的几何意义82
习题4.184
4.2　不定积分的运算法则与直接
积分法84
4.2.1　不定积分的基本公式85
4.2.2　不定积分的基本运算
法则86
4.2.3　直接积分法87
习题4.288
4.3　不定积分的换元积分法89
4.3.1　第一类换元法（凑
微分法）89
4.3.2　第二类换元法95
习题4.398
4.4　分部积分法99
习题4.4101
第5章　定积分及其应用102
5.1　定积分的概念与性质102
5.1.1　两个引例102
5.1.2　定积分的定义105
5.1.3　定积分的几何意义107
5.1.4　定积分的基本性质109
习题5.1110
5.2　微积分基本公式111
5.2.1　积分上限的函数及
其导数111
5.2.2　微积分基本公式112
习题5.2114
5.3　定积分的换元积分法与分部
积分法114
5.3.1　定积分的换元
积分法115
5.3.2　定积分的分部
积分法117
习题5.3119
5.4　定积分的应用119
5.4.1　定积分的微元法120
5.4.2　定积分的应用121
习题5.4125
5.5　广义积分126
5.5.1　无穷区间上的广义
积分126
5.5.2　无界函数的广义
积分127
习题5.5129
第6章　常微分方程130
6.1　微分方程的基本概念130
6.1.1　两个引例130
6.1.2　微分方程的解132
习题6.1133
6.2　一阶微分方程134
6.2.1　可分离变量的微分
方程134
6.2.2　一阶线性微分方程136
习题6.2140
6.3　二阶常系数齐次线性微分
方程140
6.3.1　二阶常系数齐次
线性微分方程141
6.3.2　齐次线性微分方程解的结构141
6.3.3　二阶常系数齐次线性
微分方程的解142
6.3.4　常见二阶常系数非齐次线性微分方程的解144
习题6.3149
第7章　向量与复数150
7.1　向量150
7.1.1　向量的概念150
7.1.2　向量的表示法151
7.1.3　空间向量的坐标
表示法151
习题7.1154
7.2　向量的运算155
7.2.1　向量的线性运算 155
7.2.2　向量的数量积运算158
7.2.3　向量的向量积运算160
习题7.2162
7.3　复数163
7.3.1　复数的概念163
7.3.2　复数的4种表达
方式165
7.3.3　正弦量的相量表示167
习题7.3168
7.4　复数的运算169
7.4.1　复数的加减运算170
7.4.2　复数的乘除运算171
7.4.3　复数的乘除运算一般
使用三角函数形式或
极坐标形式173
习题7.4175
第8章　无穷级数176
8.1　常数项级数176
8.1.1　常数项级数的
概念176
8.1.2　收敛级数的基本
性质178
习题8.1179
8.2　常数项级数的审敛法179
8.2.1　正项级数及其
审敛法179
8.2.2　交错级数及其
审敛法183
8.2.3　任意项级数 绝对收敛与
条件收敛184
习题8.2185
8.3　幂级数186
8.3.1　函数项级数的概念186
8.3.2　幂级数及其收敛性187
8.3.3　幂级数的性质189
习题8.3191
8.4　函数展开成幂级数191
8.4.1　泰勒级数192
8.4.2　函数展开成幂级数193
8.4.3　幂级数在近似计算中的应用196
习题8.4199
8.5　傅里叶级数199
8.5.1　三角级数　三角函数系的
正交性199
8.5.2　以为周期的函数展开
成傅里叶级数200
8.5.3　正弦级数和
余弦级数204
8.5.4　以2l为周期的函数展开
成傅里叶级数208
习题8.5210
第9章　积分变换211
9.1　傅里叶积分变换211
9.1.1　傅里叶积分变换的
概念211
9.1.2　单位脉冲函数的定义及其傅里叶变换213
9.1.3　傅里叶变换的性质214
9.1.4　求函数的傅里叶变换
举例216
习题9.1217
9.2　拉普拉斯变换217
9.2.1　拉普拉斯变换的
概念218
9.2.2　拉普拉斯变换与
逆变换的性质 219
9.2.3　拉普拉斯变换的
应用223
习题9.2229
第10章　数学建模入门231
10.1　数学建模初步认识231
10.1.1　数学建模的作用和
地位231
10.1.2　数学建模与能力
培养232
10.1.3　数学模型与数学
建模234
10.1.4　数学模型无处
不在240
10.2　MATLAB的基本知识241
10.2.1　MATLAB 简介241
10.2.2　MATLAB基础
知识242
10.2.3　M函数247
10.2.4　基本数值计算249
10.2.5　矩阵构造及运算249
10.2.6　控制语句函数254
10.2.7　MATLAB作图263
10.3　最优化问题269
10.3.1　线性规划269
10.3.2　整数规划和0-1整数规划272
10.3.3　二次规划274
习题275
参考文献278

1. 嵌入式人工智能技术应用（数字教材） [主编 胡娜 杨国勇 晏廷荣]
2. 应用数学 [吴小宁]
3. Java Web项目化设计实践教程 [邱云 曾陈萍]
4. 人工智能开发框架应用 [主编 王明超 芦娅云]
5. 民航客舱服务实用英语教程 [主编 田静 徐亚玲]
6. Python数据分析 [主编　冯志辉　赵磊　李放]
7. 大学信息技术 [曾翰颖 编著]
8. 创新创业训练实践教程 [主编 王日华 陈武 黄喆诚]
9. 实用运筹学 [主编　邢育红　于晋臣]
10. 电子技术（第二版） [主编 覃爱娜 李飞]
11. 工程数学 [主编 郭立娟 王海]
12. 语音识别理论与实践 [主编　莫宏伟]
13. 武术基础教程 [主编 李代勇 谢志民]
14. 计算机网络实训教程 [主编 张浩军 赵玉娟]
15. 电工电子技术基础 [主编 刘 军 杨国龙 刘天成]
16. MySQL数据库项目式教程 [陈亚峰]
17. 机械设计基础（第二版） [主编 田亚平 李爱姣]
18. 画法几何与机械制图 [主编 赵军]
19. C语言程序设计习题与实验指导（第二版） [主编 甄增荣 张宾]
20. C语言程序设计（第二版） [主编 甄增荣 田云霞]
21. Unity3D虚拟现实应用开发实践 [主 编 刘龙]
22. 智能化技术基础（第三版） [邓文达　李礼]
23. 面向对象程序设计 [主编 张勇 张平华 赵小龙]
24. 网络营销 [主编 夏薇薇 刘婷 尚洁]
25. 电视节目策划与制作（微课版） [主　编　黄滴滴]
26. 数据库技术与应用实践教程（SQL Server 2019） [主 编 严晖 周肆清]
27. 应用数学 [梁玮 蔡超 高志]
28. 软件定义网络技术与实践 [主编　但唐仁]
29. 工业机器人拆装与调试 [主编 胡月霞 向艳芳 朱奇]
30. 信号与系统（第二版） [主编 张宇]