高等数学（下册）

中国水利水电出版社

【作者】主编李爱芹胡雷尹金生

【I S B N 】978-7-5226-0670-5

【责任编辑】陈红华

【适用读者群】本专通用

【出版时间】2022-07-11

【开本】16开

【装帧信息】平装（光膜）

【版次】第1版第1次印刷

【页数】240

【千字数】277

【印张】15

【定价】￥40

【丛书】应用型本科高校建设示范教材

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本教材由山东交通学院高等数学教研室组织编写修订，参照教育部非数学专业数学基础课教学指导委员会新制定的“工科类本科数学基础课程教学基本要求”，充分吸收高等数学课程教学实践和教学改革的成果。

本次编写修订对教材内容的深度和广度进行了适度调整，有利于服务专业课程，适应分层次教学的需要，难度适宜，注重应用，密切联系实际；调整充实习题的类型和数量，增强掌握运用数学工具解决实际问题的能力，提高学习效率与合格率。

本教材分上下两册，包括函数与极限、一元函数微积分学、微分方程、空间解析几何与向量代数、多元函数微积分学、无穷级数等内容。

本教材内容全面，结构严谨，详略得当，题量丰富，难易适度，注重数学知识的应用性，可作为普通高等院校“高等数学”课程的教材。

人类社会的进步与数学这门基础学科的广泛应用是分不开的，尤其是现代社会，电子计算机的出现和普及使得数学的应用领域进一步拓宽，现代数学正成为科技发展的强大动力，同时也广泛深入地渗透到了社会生活的各个领域。宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，几乎无时无处不用到数学。

高等数学是由微积分学、代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的基础学科，是工科院校一门非常重要的基础课。在现阶段大学的大众化教育中，学生的数学基础参差不齐，面对高等数学高度抽象和逻辑严密的特点，普遍出现了“学不会，用不了”的尴尬局面。

本次教材编写修订针对大众化教育阶段出现的这种现实状况，以教育部非数学专业数学基础课教学指导委员会新制定的“工科类本科数学基础课程教学基本要求”为依据，结合当下教育部调整教育机构工作的主要思路，引导部分地方本科高校以社会需求为导向转型发展，本着“难度适宜，注重实用”的原则，确定了高等数学课程的内容框架和深度，以培养应用型人才为目标，将数学基本知识和实际应用有机地结合起来。“高等数学”这门课程不但为学生学习后续课程提供基础保障，而且在培养提高学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、综合分析能力等方面具有非常重要的作用。

本教材主要特点如下：

（1）充分体现基础应用型本科院校特色，根据工科各专业对数学知识的不同需求，本着“轻理论，重应用”的原则制定内容体系；在内容安排上由浅入深，循序渐进，与中学数学知识体系进行了科学合理的衔接。

（2）采用“发现问题－讨论问题－解决问题”的科学思路，引入概念时注意概念产生的实际背景，逐步展开知识点，激发学习兴趣，使学生思考问题能从实际出发，增强应用数学工具解决问题的意识和能力。

（3）例题和习题的选择本着学以致用的原则，难易适度、层次分明，各节均配有实际应用型习题，而且每章后配有总复习题，强化训练学生对本章知识点的综合应用能力。

（4）每章最后选编一位有杰出贡献的数学家的生平和事迹，让学生从中认识数学发展的基本过程，特别是学习数学家坚韧不拔追求和维护真理的科学精神，体现“榜样育人”的思想政治教学原则。

（5）本教材结构严谨、逻辑严密、语言准确、解析详细，内容突出理论的应用和方法的介绍，弱化抽象理论的解释，深度和广度适当，贴近教学实际，既便于教师教也便于学生学。

（6）本教材上册包括函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分及其应用、常微分方程6章，下册包括空间解析几何与向量代数、多元函数微分法及其应用、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数5章。

（7）附录Ⅰ汇总常见的三角函数公式，附录Ⅱ简单介绍二阶和三阶行列式，附录Ⅲ列举几种常见的曲线，附录Ⅳ积分表包含各种类型的不定积分结果，附录Ⅴ为习题答案与提示，供学生查阅参考。

本教材的主要编写修订人员为尹金生、刘吉晓、刘菲菲、李文婧、李爱芹、陈艳艳、胡雷（按姓氏笔画排序），具体分工如下：李文婧负责第1章至第4章，刘菲菲负责第5章和第6章，李爱芹负责第7章，陈艳艳负责第8章至第11章。

全书由尹金生、刘吉晓、胡雷审稿，由李爱芹统稿和定稿。在教材编写过程中，编者参考借鉴了国内外相关文献资料，采用黄玉娟和李爱芹主编版本的体系风格，同时得到诸多同事同行的帮助和指导，尤其是山东交通学院理学院各位领导和黄玉娟教授的鼎力支持，在此一并表示感谢。

限于编者水平，书中不足之处在所难免，恳请读者批评指正。

编者

2022年3月

前言
第7章空间解析几何与向量代数 1
7.1 向量及其线性运算 1
7.1.1 向量的概念 1
7.1.2 向量的线性运算 2
7.1.3 空间直角坐标系 4
7.1.4 向量的坐标表示 5
7.1.5 利用坐标做向量的线性运算 6
7.1.6 向量的模与方向余弦 7
7.1.7 向量在轴上的投影 9
习题7.1 10
7.2 数量积与向量积 11
7.2.1 两向量的数量积 11
7.2.2 两向量的向量积 13
习题7.2 16
7.3 曲面及其方程 16
7.3.1 曲面方程的概念 16
7.3.2 旋转曲面 18
7.3.3 柱面 20
7.3.4 二次曲面 21
习题7.3 23
7.4 空间曲线及其方程 23
7.4.1 空间曲线的一般方程 23
7.4.2 空间曲线的参数方程 25
7.4.3 空间曲线在坐标面上的投影 26
习题7.4 28
7.5 平面及其方程 29
7.5.1 平面的点法式方程 29
7.5.2 平面的一般方程 30
7.5.3 两平面的夹角 31
习题7.5 34
7.6 空间直线及其方程 34
7.6.1 空间直线的一般方程 34
7.6.2 平面束 35
7.6.3 空间直线的对称式方程与参数方程 36
7.6.4 两直线的夹角 38
7.6.5 直线与平面的夹角 39
习题7.6 40
复习题7 41
数学家简介—笛卡尔 41
第8章多元函数微分法及其应用 43
8.1 多元函数的基本概念 43
8.1.1 平面点集 43
8.1.2 多元函数的概念 45
8.1.3 多元函数的极限 46
8.1.4 多元函数的连续性 48
习题8.1 49
8.2 偏导数 50
8.2.1 偏导数的定义及其计算方法 50
8.2.2 高阶偏导数 53
习题8.2 54
8.3 全微分 55
8.3.1 全微分的定义 55
*8.3.2 全微分在近似计算中的应用 57
习题8.3 58
8.4 多元复合函数的求导法则 58
8.4.1 复合函数的中间变量均为一元函数的情形 58
8.4.2 复合函数的中间变量均为多元函数的情形 59
8.4.3 复合函数的中间变量既有一元函数也有多元函数的情形 60
8.4.4 全微分形式不变性 62
习题8.4 63
8.5 隐函数的求导公式 64
习题8.5 68
8.6 多元函数微分学的几何应用 69
8.6.1 空间曲线的切线与法平面 69
8.6.2 曲面的切平面与法线 72
习题8.6 74
8.7 方向导数与梯度 75
8.7.1 方向导数 75
8.7.2 梯度 78
习题8.7 80
8.8 多元函数的极值及其求法 81
8.8.1 多元函数的极值 81
8.8.2 多元函数的最大值与最小值 83
8.8.3 条件极值拉格朗日乘数法 85
习题8.8 88
复习题8 88
数学家简介—陈省身 90
第9章重积分 92
9.1 二重积分 92
9.1.1 引例 92
9.1.2 二重积分的概念 94
9.1.3 二重积分的性质 96
习题9.1 98
9.2 二重积分的计算 99
9.2.1 利用直角坐标计算二重积分 99
9.2.2 利用极坐标计算二重积分 106
习题9.2 111
9.3 三重积分 112
9.3.1 引例—求空间物体的质量 112
9.3.2 三重积分的概念 112
9.3.3 三重积分的计算 113
习题9.3 121
9.4 重积分的应用 121
9.4.1 求立体的体积 122
9.4.2 求曲面的面积 123
9.4.3 求物体的质量 125
9.4.4 求质心 125
9.4.5 转动惯量 127
习题9.4 128
复习题9 129
数学家简介—牛顿 130
第10章曲线积分与曲面积分 132
10.1 对弧长的曲线积分 132
10.1.1 引例——金属曲线的质量问题 132
10.1.2 对弧长的曲线积分的概念与性质 133
10.1.3 对弧长的曲线积分的计算 134
习题10.1 137
10.2 对坐标的曲线积分 137
10.2.1 引例——变力沿曲线所做的功 137
10.2.2 对坐标的曲线积分的概念与性质 138
10.2.3 对坐标的曲线积分的计算 140
习题10.2 143
10.3 格林公式及其应用 143
10.3.1 格林公式 143
10.3.2 平面上曲线积分与路径无关的等价条件 147
习题10.3 151
10.4 对面积的曲面积分 152
10.4.1 对面积的曲面积分的概念与性质 152
10.4.2 对面积的曲面积分的计算 153
习题10.4 155
10.5 对坐标的曲面积分 155
10.5.1 对坐标的曲面积分的概念与性质 155
10.5.2 对坐标的曲面积分的计算 158
习题10.5 160
10.6 高斯公式与斯托克斯公式 161
10.6.1 高斯公式 161
10.6.2 斯托克斯公式 163
习题10.6 164
复习题10 165
数学家简介—高斯 167
第11章无穷级数 169
11.1 常数项级数的概念与性质 169
11.1.1 常数项级数的概念 169
11.1.2 收敛级数的性质 171
习题11.1 174
11.2 正项级数及其审敛法 174
11.2.1 正项级数收敛的充要条件 175
11.2.2 比较审敛法 175
11.2.3 比值审敛法 178
习题11.2 180
11.3 交错级数和任意项级数 181
11.3.1 交错级数及其审敛法 181
11.3.2 任意项级数与绝对收敛、条件收敛 183
习题11.3 185
11.4 幂级数 186
11.4.1 函数项级数的概念 186
11.4.2 幂级数及其收敛域 186
11.4.3 幂级数的运算及性质 190
习题11.4 193
11.5 函数展开成幂级数 193
11.5.1 泰勒级数 193
11.5.2 直接展开与间接展开 195
习题11.5 198
11.6 傅里叶级数 199
11.6.1 三角函数系与三角级数 199
11.6.2 函数展开成傅里叶级数 200
11.6.3 正弦级数和余弦级数 203
11.6.4 一般周期函数的傅里叶级数 204
习题11.6 206
复习题11 206
数学家简介—丘成桐 208
参考文献 210
附录习题和复习题参考答案 212

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