复变函数与积分变换（第二版）

依据教育部制定的《高职高专教育基础课程教学基本要求》和《高职高专教育专业人才培养目标及规格》的要求，严格依据教育部提出的高职高专教育＂以应用为目的，以必需、够用为度＂的原则，精心选择教材内容。

从实际应用和学生学习后续专业课的需要（实例）出发，根据数学思想和数学概念与工程实际结合的高职高专教学的特点，淡化了深奥的数学理论。

每章都配有本章学习目标、本章小结、习题、自测题等，便于学生总结学习内容和学习方法，巩固所学知识。

本书在第一版基础上，根据多年的教学改革实践和高校教师提出的一些建议进行修订。修订工作主要包括以下方面的内容：

1．仔细校对并订正了第一版中的印刷错误。

2．对第一版教材中的某些疏漏予以补充完善。

3．调整了原书中的部分习题，使之与书中内容搭配更加合理。

负责本书修订编写工作的有张翠莲、牛莉、曾大有等。本书仍由张翠莲主编，由牛莉、曾大有担任副主编，各章编写分工如下：复变函数第1章、第2章由牛莉编写，第3章、第4章由曾大有编写，第5章由程广涛编写，积分变换第1章、第2章及书后附录由张翠莲编写。参加本书修订的还有何春江、翟秀娜、张钦礼、邓凤茹、赵艳、郭照庄、霍东升、戴江涛、张静、聂铭玮、刘园园等。

在修订过程中，我们认真考虑了读者的建议意见，在此对提出意见建议的读者表示衷心感谢。新版中存在的问题，欢迎广大专家、同行和读者继续给予批评指正。

编 者

2014年12月

第一篇 复变函数
第1章 复数与复变函数 3
本章学习目标 3
1.1 复数 3
1.1.1 复数的概念 3
1.1.2 复数的代数运算 4
1.1.3 复数的各种表示、模与辐角 5
1.1.4 复数的幂与根 9
1.2 区域 11
1.2.1 复平面上的点集与区域 11
1.2.2 单连通域与多（复）连通域 13
1.3 复变函数 14
1.3.1 复变函数的概念 14
1.3.2 映射的概念 15
1.3.3 反函数与复合函数 16
1.4 复变函数的极限与连续性 17
1.4.1 复变函数的极限 17
1.4.2 复变函数的连续 18
本章小结 20
习题1 21
自测题1 23
第2章 解析函数 26
本章学习目标 26
2.1 复变函数的导数与微分 26
2.1.1 复变函数的导数 26
2.1.2 可导与连续的关系 28
2.1.3 复变函数的微分 28
2.1.4 导数运算法则 29
2.2 解析函数的概念 30
2.2.1 解析函数的定义及其性质 30
2.2.2 函数解析的充要条件 31
2.3 初等函数及其解析性 34
2.3.1 指数函数 34
2.3.2 对数函数 35
2.3.3 幂函数 36
2.3.4 三角函数 37
2.3.5 反三角函数 38
2.3.6* 双曲函数与反双曲函数 39
本章小结 40
习题2 41
自测题2 43
第3章 复变函数的积分 45
本章学习目标 45
3.1 复变函数积分的概念 45
3.1.1 积分的定义 45
3.1.2 积分存在的条件及其计算方法 46
3.1.3 积分的性质 47
3.2 积分基本定理 49
3.2.1 积分与路径无关问题 49
3.2.2 柯西—古萨（Cauchy-Goursat）基本定理 50
3.2.3 几个等价定理 51
3.3 基本定理的推广—复合闭路定理 52
3.4 柯西积分公式 54
3.5 解析函数的高阶导数 56
本章小结 57
习题3 58
自测题3 59
第4章 级数 61
本章学习目标 61
4.1 幂级数 61
4.1.1 幂级数的概念 61
4.1.2 泰勒级数 63
4.2 罗伦级数 64
本章小结 67
习题4 68
自测题4 69
第5章 留数 70
本章学习目标 70
5.1 孤立奇点 70
5.1.1 孤立奇点的概念及分类 70
5.1.2 函数的零点与极点的关系 71
5.2 留数 72
5.2.1 留数的概念 72
5.2.2 留数定理 73
5.2.3* 在无穷远点的留数 77
5.2.4* 留数在定积分计算上的应用 78
本章小结 80
习题5 81
自测题5 82
第二篇 积分变换
第6章 傅里叶变换 84
本章学习目标 84
6.1 傅里叶积分 84
6.1.1 主值意义下的广义积分 84
6.1.2 傅氏积分存在定理 86
6.2 傅里叶变换与频谱 86
6.2.1 傅里叶变换的概念 86
6.2.2 傅氏变换的物理意义—频谱 88
6.3 函数及其傅里叶变换 90
6.3.1 函数的定义 91
6.3.2 函数的性质 93
6.3.3 函数的傅里叶变换 94
6.3.4 一些常见函数的傅氏变换和一些傅氏变换对 95
6.4 傅里叶变换的性质 97
6.4.1 线性性质 97
6.4.2 对称性质 97
6.4.3 相似性性质 98
6.4.4 平移性质 98
6.4.5 微分性质 101
6.4.6 积分性质 102
6.4.7 傅氏变换的卷积与卷积定理 102
本章小结 103
习题6 105
自测题6 106
第7章 拉普拉斯变换 108
本章学习目标 108
7.1 拉普拉斯变换 108
7.1.1 拉普拉斯变换的概念 108
7.1.2 拉普拉斯变换存在定理 109
7.1.3 一些常用函数的拉普拉斯变换 109
7.1.4 周期函数的拉普拉斯变换 111
7.2 拉普拉斯变换的基本性质 112
7.2.1 线性性质 112
7.2.2 相似性 112
7.2.3 平移性质 113
7.2.4 微分性质 114
7.2.5 积分性质 116
7.2.6 拉氏变换的卷积与卷积定理 117
7.3 拉普拉斯逆变换 119
7.3.1 利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆变换 119
7.3.2 利用留数定理求拉氏逆变换 121
7.4 拉普拉斯变换的应用 122
7.4.1 常系数线性微分方程的拉普拉斯变换解法 122
7.4.2 线性系统的传递函数 125
本章小结 126
习题7 127
自测题7 131
附录1 复变函数习题与自测题提示与答案 133
附录2 积分变换习题与自测题提示及答案 144
附录3 变换简表 149
参考文献 158

1. 零基础玩转国产大模型DeepSeek [徐永冰 张帅 编著]
2. 网络工程师5天修炼（适配第6版考纲） [主编　朱小平 施游]
3. 信息系统项目管理师考试32小时通关（适用第4版考纲） [薛大龙]
4. 信息系统管理工程师考试32小时通关（适配第2版考纲） [薛大龙　刘伟]
5. 土木工程材料检测实训 [洪晓江 达则晓丽 钱波]
6. 科技信息检索与论文写作实用教程 [李振华]
7. 传统山水画论解读与实践 [陈钠 著]
8. Python数据库编程 [主编 殷树友 邢 翀]
9. 计算机基础实训指导 [主编 袁春萍 朱妮]
10. 嵌入式人工智能技术应用（数字教材） [主编 胡娜 杨国勇 晏廷荣]
11. Vienna整流器技术 [桂存兵 著]
12. 变频器与伺服应用 [陈刚 叶云飞]
13. 物联网工程设计与实践 [汤琳 李敏]
14. 炉边夜话——深入浅出话AI [汪建　著]
15. 电商运营与管理 [钟肖英 陈潇]
16. Java面向对象程序设计 [主编 姜春磊 陈虹洁]
17. 信息技术基础（Windows 10+WPS Office）（微课版） [主编　石利平　田辉平　谢盛嘉]
18. 人工智能应用 [主编　陈　萍　刘培培　陈孟军]
19. 大学生职业发展与就业指导 [主编　刘志坚]
20. 高级办公应用项目教程 [主编 屈晶 赵成丽]
21. 微信小程序开发项目实战（微课版） [主编 黄龙泉 郭峰 朱倩]
22. 企业档案工作实战宝典百问百答 [华俊 卢秀英 邵甜甜 著]
23. 计算机网络原理及应用 [主编 唐继勇 叶坤 孙梦娜]
24. 大学生创业基础 [主编 王丽莉 王 杨]
25. 船舶辅机 [主编 王连海 于洋 姜淑翠]
26. 大学生就业指导 [主编 王丽莉 董宴廷]
27. 系统架构设计师章节习题与考点特训 [主编 薛大龙 邹月平]
28. 高校学生工作探索与实践 [郭亮 著]
29. 大学生情商管理 [方雄 著]
30. 2023年长沙市会展业发展报告 [主编 周栋良]