高等数学（下册）

充分吸收编者多年的教学实践经验与教学改革成果，帮助学生提高数学素养、掌握数学思想方法,培养学生的数学应用创新能力

注重启发引导，从实际问题引出抽象概念，使学生了解概念的实际背景以及研究这一概念的重要意义

文字通俗易懂，内容深入浅出、重点突出，在例题和习题的配备上注意难易适中

本书紧紧围绕普通高等院校公共数学课程培养及训练应用型本科人才数学能力的教学要求，由从事高等数学教学多年的一线教师，按照最新修订的“普通本科院校数学课程教学基本要求”编写而成。在编写过程中注重内容编排、例题习题类型及数量选择的合理性及实用性，以帮助学生提高数学素养、培养创新意识、增强运用数学工具解决实际问题的能力。

本书共12章，分为上、下两册，上册讲述一元函数微积分学，下册讲述向量代数与空间解析几何、多元函数微积分法及其应用、重积分、曲线积分与曲面积分、微分方程及无穷级数，其中选学内容及相应习题用“*”号标出。书后附有参考答案，可作为普通本科院校高等数学课程的选用教材或教学参考书。

本书由何红洲任主编，并进行统稿，上册由彭政老师担任主审，下册由唐再良老师担任主审，参加编写的有江跃勇、任全红、赵志锟、盛登、杨琼芬、王敏、解继蓉、赵甫荣、徐辉、汪元伦、罗守双，及西昌学院陈宗荣老师、阿力非日老师、三亚学院理工学院周密老师。

四川师范大学蒲志林教授在繁忙的工作中抽出宝贵的时间为本书作序，绵阳师范学院数学与计算机科学学院的同事们对本书的编写提出了许多宝贵的意见和建议，我们在此一并表示感谢。

限于编者的水平，书中的不足之处在所难免，恳请读者批评指正。

编 者

2014年11月

第7章 向量代数与空间解析几何 1
§7.1 空间直角坐标系 1
7.1.1 空间直角坐标系和空间点的坐标 1
7.1.2 两点间的距离 2
习题7.1 3
§7.2 向量的线性运算及向量的坐标 4
7.2.1 向量的概念 4
7.2.2 向量的加法 4
7.2.3 数乘向量 6
7.2.4 向量的坐标 7
习题7.2 11
§7.3 向量的数量积和向量积 12
7.3.1 向量的数量积 12
7.3.2 向量的向量积 14
习题7.3 16
§7.4 平面及其方程 17
7.4.1 平面的点法式方程 17
7.4.2 平面的一般式方程 18
7.4.3 两平面的夹角 20
习题7.4 22
§7.5 空间直线及其方程 22
7.5.1 空间直线的一般方程 22
7.5.2 空间直线的点向式方程和参数方程 22
7.5.3 两直线的夹角 25
7.5.4 直线与平面的夹角 26
7.5.5 平面束及其应用 26
习题7.5 27
§7.6 常用空间曲面及其方程 28
7.6.1 曲面方程的概念 28
7.6.2 旋转曲面 30
7.6.3 柱面 32
7.6.4 二次曲面 33
习题7.6 36
§7.7 空间曲线及其方程 37
7.7.1 空间曲线的一般方程 37
7.7.2 空间曲线的参数方程 37
7.7.3 空间曲线在坐标面上的投影 38
习题7.7 40
总习题七 40
第8章 多元函数微分法及其应用 43
§8.1 多元函数的基本概念 43
8.1.1 平面点集 43
8.1.2 多元函数的概念 46
8.1.3 多元函数的极限 48
8.1.4 多元函数的连续性 50
习题8.1 53
§8.2 偏导数 53
8.2.1 偏导数及其计算法 53
8.2.2 高阶偏导数 57
习题8.2 58
§8.3 全微分 59
8.3.1 全微分的定义 59
8.3.2 全微分存在的条件 59
*8.3.3 全微分在近似计算中的应用 62
习题8.3 63
§8.4 多元复合函数的求导法则 63
习题8.4 69
§8.5 隐函数的求导公式 70
习题8.5 75
§8.6 微分法在几何上的应用 75
8.6.1 空间曲线的切线与法平面 75
8.6.2 曲面的切平面与法线 79
习题8.6 82
§8.7 多元函数的极值及其求法 82
8.7.1 多元函数的极值 82
8.7.2 多元函数的最值 85
8.7.3 条件极值及拉格朗日乘数法 86
习题8.7 89
§8.8 方向导数与梯度 89
习题8.8 96
*§8.9 二元函数的泰勒公式 96
*习题8.9 102
总习题八 102
第9章 重积分 105
§9.1 二重积分的概念与性质 105
9.1.1 二重积分的概念 105
9.1.2 二重积分的性质 108
习题9.1 109
§9.2 二重积分与二次积分 109
习题9.2 112
§9.3 一般积分区域上的二重积分 113
习题9.3 119
§9.4 利用极坐标计算二重积分 120
习题9.4 124
§9.5 二重积分的应用 125
9.5.1 曲面的面积 125
9.5.2 平面薄片的质量、力矩、质心 127
*9.5.3 平面薄片的转动惯量 130
习题9.5 131
§9.6 三重积分 131
习题9.6 139
§9.7 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 139
9.7.1 利用柱面坐标计算三重积分 140
*9.7.2 利用球面坐标计算三重积分 142
习题9.7 145
总习题九 146
第10章 曲线积分与曲面积分 148
§10.1 对弧长的曲线积分 148
10.1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质 148
10.1.2 对弧长的曲线积分的计算 150
习题10.1 154
§10.2 对坐标的曲线积分 155
10.2.1 对坐标的曲线积分的概念与性质 155
10.2.2 对坐标的曲线积分的计算 158
10.2.3 两类曲线积分之间的联系 163
习题10.2 164
§10.3 格林公式及其应用 165
10.3.1 格林公式 165
10.3.2 平面上曲线积分与路径无关的条件 170
10.3.3 二元函数的全微分求积 173
*10.3.4 曲线积分的基本定理 176
习题10.3 177
§10.4 对面积的曲面积分 179
10.4.1 对面积的曲面积分的概念与性质 179
10.4.2 对面积的曲面积分的计算 180
习题10.4 182
§10.5 对坐标的曲面积分 183
10.5.1 对坐标的曲面积分的概念与性质 183
10.5.2 对坐标的曲面积分的计算 188
10.5.3 两类曲面积分的联系 191
习题10.5 193
§10.6 高斯公式 193
10.6.1 高斯公式 193
*10.6.2 沿空间任意闭曲面的曲面积分为零的条件 198
*10.6.3 通量与散度 199
习题10.6 201
§10.7 斯托克斯公式 202
10.7.1 斯托克斯公式 202
*10.7.2 空间曲线积分与路径无关的条件 207
*10.7.3 环流量与旋度 208
习题10.7 211
总习题十 212
第11章 微分方程 215
§11.1 微分方程的基本概念 215
习题11.1 218
§11.2 可分离变量的微分方程 219
习题11.2 220
§11.3 一阶齐次方程 220
11.3.1 一阶齐次方程 220
*11.3.2 可化为一阶齐次方程的方程 221
习题11.3 223
§11.4 一阶线性微分方程 223
11.4.1 一阶线性方程 223
*11.4.2 伯努利方程 226
习题11.4 227
§11.5 可降阶的高阶微分方程 227
11.5.1 型的微分方程 227
11.5.2 型的微分方程 228
11.5.3 型的微分方程 229
习题11.5 231
§11.6 二阶线性微分方程的解的结构 231
习题11.6 234
§11.7 二阶常系数线性微分方程 234
习题11.7 241
*§11.8 欧拉方程 241
*习题11.8 243
§11.9 微分方程的应用 243
习题11.9 247
*§11.10 常系数线性微分方程组解法举例 248
*习题11.10 250
总习题十一 250
第12章 无穷级数 253
§12.1 常数项级数的概念与性质 253
12.1.1 常数项级数的概念 253
12.1.2 常数项级数的基本性质 255
*12.1.3 柯西审敛原理 257
习题12.1 258
§12.2 常数项级数的审敛法 259
12.2.1 正项级数及其审敛法 259
12.2.2 交错级数及其审敛法 266
12.2.3 绝对收敛与条件收敛 267
习题12.2 269
§12.3 幂级数 272
12.3.1 函数项级数的一般概念 272
12.3.2 幂级数及其收敛域 273
12.3.3 幂级数的运算与性质 277
习题12.3 280
§12.4 函数展开成幂级数 281
12.4.1 泰勒级数 281
12.4.2 函数展开成幂级数 282
习题12.4 286
§12.5 函数的幂级数展开式的应用 287
12.5.1 近似计算 287
*12.5.2 微分方程的幂级数解法 289
12.5.3 欧拉公式 291
习题12.5 292
§12.6 傅里叶级数 293
12.6.1 三角级数及三角函数系的正交性 293
12.6.2 函数展开成傅里叶级数 294
12.6.3 正弦级数和余弦级数 299
习题12.6 302
§12.7 一般周期函数的傅里叶级数 303
习题12.7 307
总习题十二 308
附录D 二阶和三阶行列式简介 311
习题答案与提示 315

1. 零基础玩转国产大模型DeepSeek [徐永冰 张帅 编著]
2. 网络工程师5天修炼（适配第6版考纲） [主编　朱小平 施游]
3. 信息系统项目管理师考试32小时通关（适用第4版考纲） [薛大龙]
4. 信息系统管理工程师考试32小时通关（适配第2版考纲） [薛大龙　刘伟]
5. 土木工程材料检测实训 [洪晓江 达则晓丽 钱波]
6. 科技信息检索与论文写作实用教程 [李振华]
7. 传统山水画论解读与实践 [陈钠 著]
8. Python数据库编程 [主编 殷树友 邢 翀]
9. 计算机基础实训指导 [主编 袁春萍 朱妮]
10. 嵌入式人工智能技术应用（数字教材） [主编 胡娜 杨国勇 晏廷荣]
11. Vienna整流器技术 [桂存兵 著]
12. 变频器与伺服应用 [陈刚 叶云飞]
13. 物联网工程设计与实践 [汤琳 李敏]
14. 炉边夜话——深入浅出话AI [汪建　著]
15. 电商运营与管理 [钟肖英 陈潇]
16. Java面向对象程序设计 [主编 姜春磊 陈虹洁]
17. 信息技术基础（Windows 10+WPS Office）（微课版） [主编　石利平　田辉平　谢盛嘉]
18. 人工智能应用 [主编　陈　萍　刘培培　陈孟军]
19. 大学生职业发展与就业指导 [主编　刘志坚]
20. 高级办公应用项目教程 [主编 屈晶 赵成丽]
21. 微信小程序开发项目实战（微课版） [主编 黄龙泉 郭峰 朱倩]
22. 企业档案工作实战宝典百问百答 [华俊 卢秀英 邵甜甜 著]
23. 计算机网络原理及应用 [主编 唐继勇 叶坤 孙梦娜]
24. 大学生创业基础 [主编 王丽莉 王 杨]
25. 船舶辅机 [主编 王连海 于洋 姜淑翠]
26. 大学生就业指导 [主编 王丽莉 董宴廷]
27. 系统架构设计师章节习题与考点特训 [主编 薛大龙 邹月平]
28. 高校学生工作探索与实践 [郭亮 著]
29. 大学生情商管理 [方雄 著]
30. 2023年长沙市会展业发展报告 [主编 周栋良]