线性代数

根据教育部工科数学课程教学指导委员会最新修订的《工科类本科数学基础课教学基本要求》（修订稿）的精神和原则编写，主要内容包括行列式、矩阵、线性方程组、相似矩阵与二次型、线性空间和线性变换、线性代数与Mathematica。

将矩阵的初等变换作为统领本书内容的重要工具，使课程更具系统性、科学性与实用性。

注重抽象概念的背景与应用背景的介绍，以便读者更好地理解线性代数理论并会用线性代数的思维与方法解决问题。

每章配有适量的习题，书末配有习题答案，以便读者进行自我评价。

线性代数的主要内容是研究代数学中的线性关系．由于线性关系是变量之间比较简单的一种关系，而线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，并且一些非线性问题在一定条件下，可以转化或近似转化为线性问题，因此线性代数所介绍的思想方法已成为从事科学研究和工程应用的必不可少的工具．尤其在计算机高速发展和日益普及的今天，线性代数作为高等学校工科本科各专业的一门重要的基础理论课，其地位和作用更显得愈发重要．

本书根据教育部工科数学课程教学指导委员会最新修订的《工科类本科数学基础课教学基水要求》（修订稿）的精神和原则，结合多年学习、研究和教学工作中的一些感悟与经验，面向工科类本科各专业大学生编写了本书．内容包括：行列式、矩阵、线性方程组、相似矩阵与二次型、线性空间和线性变换、Mathematica．

本书由杨振起、史昱主编，杨振起教授负责总体方案设计，史昱负责统稿，孟艳双主审．各章的具体分工如下：第1章由杨振起编写，第2章由史昱编写，第3章由李宗强编写，第4章由陈凤欣编写，第5、6章由崔兆诚编写，李海霞老师负责部分章节的编写及资料整理工作．

在编写过程中，参阅了大量国内外同类教材，受到不少启发和教益，在此谨向有关作者表示诚挚的谢意！同时，山东交通学院教务处、理学院的有关领导及同仁对本书的编写给予了热情的支持和指导，在此一并致谢．

与一些常见的教材相比，本书部分内容做了较大修改，这是改革教学内容与教学方法的一种探索和尝试．虽然作者尽了最大努力，但一些改动和叙述未必臻于完善，甚或多有不妥之处．同时，由于水平所限，加之时间仓促，书中难免有疏漏和不妥之处，敬请批评指正，以便不断改进．

编写组

2014年4月

前言
第1章 行列式 1
1.1 二阶和三阶行列式 1
1.1.1 二阶行列式 1
1.1.2 三阶行列式 2
1.1.3 二阶与三阶行列式的关系 3
1.2 n阶行列式 5
1.2.1 n阶行列式的定义 5
1.2.2 n阶行列式展开定理 6
1.3 行列式的性质 7
1.4 行列式的计算 10
1.5 克拉默法则 15
习题1 18
第2章 矩阵 22
2.1 矩阵的概念 22
2.1.1 矩阵的定义 23
2.1.2 一些特殊的矩阵 24
2.2 矩阵的运算 24
2.2.1 矩阵的线性运算 24
2.2.2 矩阵的乘法 26
2.2.3 方阵的幂 29
2.2.4 矩阵的转置 30
2.2.5 方阵的行列式 32
2.3 逆矩阵 34
2.3.1 逆矩阵的概念 34
2.3.2 矩阵可逆的充分必要条件 34
2.3.3 可逆矩阵的性质 37
2.4 矩阵分块 38
2.4.1 分块矩阵的基本运算 38
2.4.2 分块对角矩阵 39
2.4.3 按行分块矩阵和按列分块矩阵 41
2.4.4 线性方程组的两种等价记法 43
2.5 矩阵的初等变换 44
2.5.1 矩阵的初等变换 45
2.5.2 行阶梯形矩阵和行最简形矩阵 46
2.5.3 用初等变换求逆矩阵 48
2.5.4 用初等变换求解矩阵方程 49
2.6 矩阵的秩 51
习题2 55
第3章 线性方程组 59
3.1 线性方程组的解 59
3.1.1 线性方程组的概念 59
3.1.2 线性方程组有解的判别法 60
3.2 n维向量及向量组的线性组合 65
3.2.1 向量组与矩阵 65
3.2.2 线性组合与线性表示 66
3.2.3 向量组的等价 69
3.3 向量组的线性相关性 70
3.3.1 线性相关性概念 70
3.3.2 线性相关性的判定 72
3.4 向量组的秩 74
3.4.1 向量组的最大线性无关组 74
3.4.2 向量组的最大线性无关组的求法 75
3.5 向量空间 78
3.5.1 向量空间与子空间 78
3.5.2 向量空间的基与维数 80
3.6 齐次线性方程组解的结构 81
3.6.1 齐次线性方程组解的性质 81
3.6.2 齐次线性方程组解的结构 81
3.7 非齐次线性方程组解的结构 88
3.7.1 非齐次线性方程组解的性质 88
3.7.2 非齐次线性方程组解的结构 88
习题3 90
第4章 相似矩阵与二次型 93
4.1 正交矩阵 93
4.1.1 向量的内积 93
4.1.2 n维向量的长度和夹角 94
4.1.3 向量组的正交性 94
4.1.4 正交矩阵与正交变换 97
4.2 矩阵的特征值与特征向量 98
4.2.1 特征值与特征向量 99
4.2.2 特征值和特征向量的性质 101
4.3 相似矩阵 103
4.3.1 相似矩阵的概念与性质 103
4.3.2 方阵的对角化 104
4.3.3 实对称矩阵的对角化 106
4.4 二次型 109
4.4.1 二次型的概念及其矩阵 109
4.4.2 化二次型为标准形 111
4.5 正定二次型 114
4.5.1 正定二次型的定义 114
4.5.2 正定二次型的判别 114
习题4 116
第5章 线性空间与线性变换 118
5.1 线性空间 118
5.1.1 线性空间的定义和例子 118
5.1.2 线性空间的简单性质 119
5.1.3 子空间 120
5.2 基、维数与坐标 120
5.2.1 线性空间的基与维数 120
5.2.2 坐标 121
5.2.3 同构 122
5.3 基变换与坐标变换公式 122
5.3.1 基变换与过渡矩阵 122
5.3.2 坐标变换 123
5.4 线性变换及其矩阵 125
5.4.1 线性变换及其性质 125
5.4.2 线性变换的矩阵表示 126
习题5 130
第6章 线性代数与Mathematica 132
参考答案 137
参考文献 146

1. Java Web项目化设计实践教程 [邱云 曾陈萍]
2. Python数据分析 [主编　冯志辉　赵磊　李放]
3. 大学信息技术 [曾翰颖 编著]
4. 多维视域下的高校篮球教学创新研究 [张利超 李宁 著]
5. 创新创业训练实践教程 [主编 王日华 陈武 黄喆诚]
6. 实用运筹学 [主编　邢育红　于晋臣]
7. 电子技术（第二版） [主编 覃爱娜 李飞]
8. 劳动争议处理实务 [主编 王秀卿 罗静]
9. 语音识别理论与实践 [主编　莫宏伟]
10. 武术基础教程 [主编 李代勇 谢志民]
11. 画法几何与机械制图习题集（多学时） [主编 赵军]
12. 机械设计基础（第二版） [主编 田亚平 李爱姣]
13. 画法几何与机械制图 [主编 赵军]
14. C语言程序设计习题与实验指导（第二版） [主编 甄增荣 张宾]
15. C语言程序设计（第二版） [主编 甄增荣 田云霞]
16. Unity3D虚拟现实应用开发实践 [主 编 刘龙]
17. 面向对象程序设计 [主编 张勇 张平华 赵小龙]
18. 网络营销 [主编 夏薇薇 刘婷 尚洁]
19. 数据库技术与应用实践教程（SQL Server 2019） [主 编 严晖 周肆清]
20. 功能材料制备与表征实验指导书 [龚伟平 赵军峰 梅海娟 等编著]
21. 信号与系统（第二版） [主编 张宇]
22. Python 语言程序设计实践指导 [主编　张双狮]
23. 体育舞蹈教程 [主编 刘伟 陈志明 曾明]
24. 线性代数导学篇 [主编 史昱]
25. 信息技术基础实训与习题指导（Windows7+Office2016） [主编 周金容 唐天国]
26. 高等数学导学篇（下册） [主编 李文婧 胡雷 尹金生]
27. 高等数学导学篇（上册） [主编 李文婧 胡雷 尹金生]
28. 高等数学（下册） [主编 李爱芹 胡雷 尹金生]
29. 高等数学（上册） [主编 李爱芹 胡雷 尹金生]
30. 线性代数 [主编 史昱 陈凤欣]