经济数学——微积分

中国水利水电出版社

【作者】主编黄玉娟

【I S B N 】978-7-5170-2102-5

【责任编辑】李炎

【适用读者群】本科

【出版时间】2014-08-25

【开本】16开

【装帧信息】平装（光膜）

【版次】第1版第1次印刷

【页数】404

【千字数】501

【印张】25.25

【定价】￥36

【丛书】应用技术型高等教育“十二五”规划教材

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本书以培养学生的专业素质为目的，充分吸收多年来教学实践和教学改革成果。主要特点是把数学知识和经济学、管理学的有关内容有机结合起来，融经济、管理于数学，培养学生用数学知识和方法解决实际问题的能力。

本书内容主要包括一元函数、极限与连续、一元函数微分学及其应用、一元函数积分学及其应用、空间解析几何、多元函数及其微分法、重积分、常微分方程、无穷级数等。

本书内容全面、结构严谨、推理严密、详略得当，例题丰富，可读性、应用性强，习题足量，难易适度，简化证明，注重数学知识的应用性，可作为普通高等院校经济管理类学科“微积分”课程的教材或教学参考书。

本书注重体现应用型本科院校特色，根据经济类和管理类的各专业对数学知识的需求，本着“轻理论、重应用”的原则制定内容体系。

本书注重理论联系实际，在内容安排上由浅入深，与中学数学进行了合理的衔接。

本书结构严谨，逻辑严密，语言准确，解析详细，易于学生阅读。

本教材充分考虑高等教育大众化教育阶段的现实状况，以教育部非数学专业数学基础课教学指导分委员会制定的新的“经济管理类本科数学基础课程教学基本要求”为依据，结合经管类研究生入学考试对数学的大纲要求而编写。参加本书编写的人员都是多年担任经济数学——微积分实际教学的教师，包括教授、副教授等专业技术人员，他们都有较深的理论造诣和较丰富的教学经验。在编写时，以培养应用型人才为目标，将数学基本知识和经济、管理学科中的实际应用有机结合起来，主要有以下几个特点：

（1）注重体现应用型本科院校特色，根据经济类和管理类的各专业对数学知识的需求，本着“轻理论、重应用”的原则制定内容体系。

（2）注重内容理论联系实际，在内容安排上由浅入深，与中学数学进行了合理的衔接。在引入概念时，注意了概念产生的实际背景，采用提出问题—讨论问题—解决问题的思路，逐步展开知识点，使得学生能够从实际问题出发，激发学习兴趣；另外在微分学与积分学章节中，重点引入了适当的经济、管理类的实际应用例题和课后练习题，以锻炼学生应用数学工具解决实际问题的意识和能力。

（3）本教材结构严谨，逻辑严密，语言准确，解析详细，易于学生阅读。由于抽象理论的弱化，突出理论的应用和方法的介绍，内容深广度适当，使得内容贴近教学实际，便于教师教与学生学。本教材内容分上、下册，包括函数的极限，一元函数微积分学，微分方程，空间解析几何与向量代数，多元函数微积分学，无穷级数等内容。

（4）在每一章的结束部分，附加了历史上在数学上有杰出贡献的伟大数学家的生平简介，通过了解数学家生平和事迹，可以让学生真正了解数学发展的基本过程，而且能让学生学习数学家追求真理、维护真理的坚忍不拔的科学精神。

（5）为了能更好的与中学数学衔接，在附录Ⅰ中对三角函数的常用公式做了全面总结，并在附录Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ中分别介绍了二阶、三阶行列式、各种类型的不定积分公式、常用的一些平面曲线及其图形，供需要的学生查阅参考。

本教材适合于普通应用型本科院校经济管理类各专业学生使用，也可作为研究生入学考试参考。

参加本教材编写的由黄玉娟（第1、5章），张海燕（第10章），周玲丽（第6、7章），张鑫（第2章），李丽（第3章），于学光（第4章），胡雷（第8章），马彦君（第9章）。全书由黄玉娟统稿并多次修改定稿。最后由尹金生副教授为本教材审稿。在编写过程中，参考和借鉴了许多国内外有关文献资料，并得到了很多同行的帮助和指导，在此对所有关心支持本书的编写、修改工作的教师表示衷心的感谢。

限于编写水平，书中难免有错误和不足之处，殷切希望广大读者批评指正。

编者

2014年3月

前言
第1章函数与极限 1
1.1 函数 1
1.1.1 集合 1
1.1.2 函数 4
习题1.1 17
1.2 数列的极限 19
1.2.1 引例 19
1.2.2 数列极限的概念 19
1.2.3 收敛数列的性质 22
习题1.2 24
1.3 函数的极限 25
1.3.1 自变量趋于无穷大时函数的极限 25
1.3.2 自变量趋于有限值时函数的极限 27
1.3.3 函数极限的性质 30
习题1.3 30
1.4 无穷小与无穷大 31
1.4.1 无穷小 31
1.4.2 无穷大 33
1.4.3 无穷小与无穷大的关系 34
习题1.4 34
1.5 极限的运算法则 35
1.5.1 极限的四则运算法则 35
1.5.2 复合函数极限的运算法则 39
习题1.5 40
1.6 极限存在准则两个重要极限 40
1.6.1 夹逼准则 40
1.6.2 单调有界收敛准则 42
1.6.3 连续复利 44
习题1.6 46
1.7 无穷小的比较 46
习题1.7 49
1.8 函数的连续性与间断点 50
1.8.1 函数的连续性 50
1.8.2 函数的间断点 51
1.8.3 连续函数的运算法则 54
1.8.4 初等函数的连续性 55
习题1.8 56
1.9 闭区间上连续函数的性质 57
1.9.1 最大值与最小值定理与有界性定理 57
1.9.2 零点定理与介值定理 59
习题1.9 60
复习题一 60
数学家简介——刘徽 63
第2章导数与微分 65
2.1 导数的概念 65
2.1.1 引例 65
2.1.2 导数的概念 66
2.1.3 导数的几何意义 69
2.1.4 可导与连续的关系 70
习题2.1 71
2.2 导数的运算 72
2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 72
2.2.2　复合函数的导数 74
2.2.3 反函数的求导法则 75
2.2.4 初等函数的导数 76
习题2.2 77
2.3 高阶导数 77
习题2.3 81
2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 81
2.4.1 隐函数的导数 81
2.4.2 对数求导法 83
*2.4.3 由参数方程所确定的函数的导数 84
习题2.4 84
2.5 函数的微分 85
2.5.1 微分的概念 85
2.5.2 微分的几何意义 87
2.5.3 微分的基本公式与微分法则 87
*2.5.4 微分在近似计算中的应用 90
习题2.5 91
2.6 边际与弹性 92
2.6.1 边际分析 92
2.6.2 弹性分析 95
习题2.6 97
复习题二 98
数学家简介——牛顿 99
第3章中值定理与导数的应用 101
3.1 微分中值定理 101
3.1.1 罗尔（Rolle）定理 101
3.1.2 拉格朗日（Lagrange）中值定理 103
习题3.1 104
3.2 洛必达法则 105
3.2.1 型未定式 105
3.2.2 型未定式 106
习题3.2 108
3.3 函数的单调性与极值 108
3.3.1 函数的单调性 109
3.3.2 函数的极值 111
习题3.3 114
3.4 函数的凹凸性与拐点函数图形的描绘 114
3.4.1 函数的凹凸性 114
3.4.2 函数图形的描绘 116
习题3.4 118
3.5 函数的最大值与最小值及其在经济上的应用 119
3.5.1 函数的最大值与最小值 119
3.5.2 经济应用问题举例 119
习题3.5 121
复习题三 122
数学家简介——布鲁克•泰勒 123
第4章不定积分 125
4.1 不定积分的概念与性质 125
4.1.1 原函数与不定积分概念 125
4.1.2 不定积分的几何意义 127
4.1.3 不定积分的性质 128
4.1.4 基本积分公式 128
习题4.1 130
4.2 换元积分法 131
4.2.1 第一类换元积分法 131
4.2.2 第二类换元积分法 136
习题4.2 142
4.3 分部积分法 143
习题4.3 146
复习题四 147
数学家简介——柯西 148
第5章定积分及其应用 151
5.1 定积分的概念与性质 151
5.1.1 引例 151
5.1.2 定积分的定义 153
5.1.3 定积分的几何意义 155
5.1.4 定积分的性质 156
习题5.1 158
5.2 微积分基本公式 159
5.2.1 积分上限函数及其导数 159
5.2.2 牛顿–莱布尼茨公式 161
习题5.2 163
5.3 定积分的换元法和分部积分法 164
5.3.1 定积分的换元法 164
5.3.2 定积分的分部积分法 168
习题5.3 169
5.4 反常积分 170
5.4.1 无穷限的反常积分 171
5.4.2 无界函数的反常积分 172
5.4.3 –函数 174
习题5.4 176
5.5 定积分的元素法及其在几何学上的应用 177
5.5.1 定积分的元素法 177
5.5.2 定积分在几何学上的应用——平面图形的面积 178
5.5.3 定积分在几何学上的应用——体积 181
习题5.5 184
5.6 定积分的经济应用 185
5.6.1 由边际函数求原函数 185
5.6.2 已知贴现率求现金流量的贴现值 186
习题5.6 188
复习题五 188
数学家简介——莱布尼茨 191
第6章空间解析几何 193
6.1 空间直角坐标系 193
6.1.1 空间直角坐标系 193
6.1.2 空间两点之间的距离 195
习题6.1 195
6.2 曲面及其方程 196
6.2.1 曲面方程的概念 196
6.2.2 旋转曲面 196
6.2.3 柱面 200
6.2.4 二次曲面 201
习题6.2 202
6.3 平面及其方程 202
6.3.1 平面的一般式方程 202
6.3.2 平面的截距式方程 202
习题6.3 203
复习题六 203
数学家简介——约翰•伯努利 204
第7章多元函数微分学 206
7.1 多元函数的基本概念 206
7.1.1 平面点集 206
7.1.2 二元函数的概念 208
7.1.3 二元函数的极限 208
7.1.4 二元函数的连续性 209
习题7.1 210
7.2 偏导数 210
7.2.1 偏导数的定义及其计算方法 210
7.2.2 偏导数的几何意义 212
7.2.3 高阶偏导数 213
习题7.2 214
7.3 全微分 214
7.3.1 全微分 214
7.3.2 全微分在近似计算中的应用 216
习题7.3 216
7.4 多元复合函数的求导法则 217
7.4.1 中间变量均为一元函数 217
7.4.2 中间变量均为多元函数 218
7.4.3 中间变量既有一元函数也有多元函数 219
7.4.4 全微分形式不变性 220
习题7.4 221
7.5 隐函数求导法 221
习题7.5 223
7.6 多元函数的极值及其应用 223
7.6.1 二元函数的极值 223
7.6.2 二元函数的最大值与最小值 226
7.6.3 条件极值拉格朗日乘数法 227
习题7.6 230
复习题七 231
数学家简介——笛卡尔 232
第8章二重积分 234
8.1 二重积分的概念与性质 234
8.1.1 二重积分的概念 234
8.1.2 二重积分的性质 237
习题8.1 238
8.2 二重积分的计算 239
8.2.1 利用直角坐标系计算二重积分 239
8.2.2 利用极坐标系计算二重积分 248
习题8.2 256
复习题八 256
数学家简介——罗尔 257
第9章微分方程与差分方程 259
9.1 微分方程的基本概念 259
9.1.1 引例 259
9.1.2 微分方程的概念 260
习题9.1 262
9.2 一阶微分方程 262
9.2.1 可分离变量的微分方程 263
9.2.2 齐次方程 264
9.2.3 一阶线性微分方程 266
习题9.2 269
9.3 可降阶的二阶微分方程 270
9.3.1 型的微分方程 270
9.3.2 型的微分方程 271
9.3.3 型的微分方程 273
习题9.3 274
9.4 二阶常系数线性微分方程 274
9.4.1 二阶常系数齐次线性微分方程 274
9.4.2 二阶常系数非齐次线性微分方程 278
习题9.4 282
9.5 差分方程 283
9.5.1 差分的概念 284
9.5.2 差分方程的概念 285
9.5.3 一阶常系数线性差分方程 286
习题9.5 289
9.6 微分方程和差分方程的简单经济应用 290
习题9.6 294
复习题九 295
数学家简介——格林 296
第10章无穷级数 298
10.1 常数项级数的概念和性质 298
10.1.1 常数项级数的概念 298
10.1.2 无穷级数的基本性质 303
习题10.1 307
10.2 正项级数及其审敛法 308
习题10.2 316
10.3 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 317
10.3.1 交错级数及其审敛法 317
10.3.2 绝对收敛与条件收敛 319
习题10.3 322
10.4 幂级数 323
10.4.1 函数项级数的概念 323
10.4.2 幂级数及其收敛域 323
10.4.3 幂级数的运算及其性质 328
习题10.4 332
10.5 函数展开成幂级数 333
10.5.1 泰勒级数与麦克劳林级数 333
10.5.2 直接展开与间接展开 335
习题10.5 339
复习题十 340
数学家简介——阿贝尔 341
附录Ⅰ 常见三角函数公式 344
附录Ⅱ 二阶和三阶行列式简介 345
附录Ⅲ 几种常见的曲线 348
附录Ⅳ 积分表 352
习题答案 362
参考文献 390

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