离散数学基础

中国水利水电出版社

【作者】主编陈华峰杨勇

【I S B N 】978-7-5084-9773-0

【责任编辑】李炎

【适用读者群】本科

【出版时间】2012-06-26

【开本】16开

【装帧信息】平装（光膜）

【版次】第1版第1次印刷

【页数】256

【千字数】370

【印张】16

【定价】￥29

【丛书】普通高等院校“十二五”规划教材

【备注信息】

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本书认真分析、总结、吸收了部分高校离散数学课程教学改革经验，以教育部高等教育教学课程的基本要求与课程改革精神及人才培养目标为依据，在取材上力求注重基础与完整，讲述上深入浅出，从而达到既为学生专业功能服务，又加强基本思维素质的训练的目的。

本书主要包括矩阵代数、数理逻辑、集合论、代数系统和图论五部分，均为离散数学中的核心内容。应用部分将离散数学与计算机应用相结合，从而使其真正融入计算机专业领域中。

本书特色主要体现在：①保留并丰富了各章节知识点，采用了模块化设计；②提高学生对离散数学源流的认识和兴趣，每部分后附相关介绍；③每章后给出了本章重点知识的小结，有利于学生对本章的学习进行系统的复习。

本书可作为普通高校计算机科学与技术、软件工程等相关专业的离散数学教材，也可供计算机应用开发人员、自考学员等参考。

本书认真分析、总结、吸收了部分高校离散数学课程教学改革经验，以教育部高等教育教学课程的基本要求与课程改革精神及人才培养目标为依据，在取材上注重基础完整，讲述上力求深入浅出，从而达到既为学生专业功能服务，又加强基本思维素质训练的目的。

本书包括矩阵代数、数理逻辑、集合论、代数系统和图论五部分，均为离散数学中的核心内容。各章知识点丰富，采用模块化设计；为提高学生对离散数学源流的认识，每章后附兴趣阅读；每章均给出了本章重点知识的小结，有利于学生进行系统的复习。

前言

随着现代社会对人才的要求越来越高，对于学生来讲，只具备专业知识已经不能适应社会的需求。还必须具备较强的适应能力、应变能力、学习能力、创新能力等才能在日趋激烈的竞争中立于不败之地，才能为社会作出更大的贡献。而这些能力的基础不但要有丰富的专业知识基础，还要有良好的思维品质。离散数学的学习，就最能体现这两方面。

离散数学是应用数学的一个重要分支，逐步成为本世纪的主流数学，也是计算机专业的核心课程之一。该课程是以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般是有限个或可数个元素，因此它充分描述了计算机科学离散性的特点。随着计算机科学的发展，离散数学形成于20世纪70年代初期，是一门新兴的工具性学科。该课程与计算机科学中的数据结构、操作系统、编译理论、数据库系统、人工智能、计算机网络、算法分析、逻辑设计、系统结构、容错诊断、机器定理证明等理论课程联系紧密。

通过离散数学的学习，不但可以掌握处理离散问题的描述工具和方法，为后续课程的学习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，通过思维品质的培养和训练，提高观察事物现象、分析问题本质、解决问题的能力，养成良好的意志力、逻辑性、新颖性等思维习惯。为学生以后的学习、工作、生活打下坚实的基础。

因此，本教材在具体编写过程中，力求既介绍离散数学基础知识的核心内容，简明扼要、通俗易懂，又注重理论联系实际，融入启发式思维训练，着重培养学生良好的思维品质，加强学生系统性、创新性、发散性、坚韧性的思维训练。本教材在结合编者多年离散数学教学经验的基础上，根据计算机科学与技术专业学生的特点，参考了国内众多教材的优势并借鉴国外教材的特点编写而成的。本书的主要特点如下：

1．科学性

教材的整个体系保持了离散数学具有代表性的核心内容，坚持少而精、释义清楚、学以致用的原则，内容安排上由浅入深，符合认知规律，理论严谨、叙述明确简练、逻辑性强，知识点脉络清晰。

2．先进性

大部分例题都融入启发式思维训练，重点突出解题思路，注重培养学生的数学思维能力和分析、解决问题的能力。每一章都增加了应用和相关离散数学源流的介绍，不但有助于提高学生的学习兴趣，而且将基础理论与相关实际问题相结合，变抽象思维为形象思维，提高学生思考能力，培养学生系统性、创新性、发散性、坚韧性的思维品质。

3．实用性

每章都列出了学习目标和小结，并配以大量习题和思考题，以便学生及时掌握知识点和知识结构。

全书共5章。第一章由杨勇编写，第二章由吕兴汉编写，第三章由吴杰编写，第四章由任超、杨德山编写，第五章由陈华峰编写。每章节的应用题例部分由郑伦川和王瑶编写。第一章是矩阵代数基础知识，第二章介绍集合论；第三章是数理逻辑初步，第四章介绍代数系统，第五章主要介绍图论的初步知识。全书由陈华峰与杨勇统稿。

本书不仅可以作为普通高等院校计算机科学与技术、软件工程等相关专业本科的离散数学教材，也可以作为考研、计算机相关开发人员的参考书。

最后，特别感谢唐艺川教授为审阅本书所作出的辛勤劳动。感谢中国水利水电出版社的大力支持，使得本书得以顺利出版。

由于作者水平有限，加之时间仓促，书中难免有不妥或错误之处，恳请广大读者批评指正。

编者

2012年3月

前言

第一章矩阵代数 1
本章学习目标 1
第一节行列式 1
一、行列式的定义 2
二、行列式的性质 3
三、行列式的计算 5
四、克拉默法则 8
习题 9
第二节矩阵的概念及矩阵的运算 11
一、矩阵的概念 11
二、矩阵的运算 13
三、矩阵的初等变换 15
四、矩阵的秩 16
五、逆矩阵 17
习题 19
第三节线性方程组 20
一、线性方程组的基本概念和定理 20
二、线性方程组解的结构 22
三、非齐次线性方程组的解的结构 23
习题 24
第四节矩阵在图形变换中的应用 26
一、常见的几种二维几何变换矩阵 26
二、三维图形的基本变换矩阵 29
本章小结 30
复习题一 32
兴趣阅读——数学家韦达简介 37
第二章集合论 38
本章学习目标 38
第一节集合的基本概念与运算 38
一、集合的表示 38
二、集合之间的关系 39
三、集合的基本运算 40
习题 42
第二节集合恒等式 43
一、基本集合恒等式 43
二、证明技巧 44
习题 45
第三节包含排斥原理 46
习题 48
第四节序偶与笛卡儿积 48
习题 50
第五节关系及其表示 50
一、基本概念 50
二、关系表示法 51
习题 53
第六节关系的运算 53
一、基本概念 53
二、运算的性质 55
三、关系幂 55
四、幂运算的性质 57
习题 57
第七节关系的性质 58
一、关系的五种基本性质 58
二、关系性质的等价 59
习题 61
第八节关系的闭包 61
一、基本概念 61
二、闭包的性质 64
习题 64
第九节等价关系与相容关系 65
一、集合的划分和覆盖 65
二、等价关系 66
三、相容关系 69
习题 71
第十节偏序关系 71
一、偏序关系的定义 71
二、偏序关系的哈斯图 72
三、偏序集中特殊位置的元素 73
习题 75
第十一节函数的概念 76
一、函数和像 76
二、函数的性质 78
三、函数的复合 78
习题 79
本章小结 80
复习题二 81
兴趣阅读——数学家康托尔与集合论 84
第三章数理逻辑 85
本章学习目标 85
第一节命题与联结词 85
一、命题的概念 85
二、复合命题与联结词 86
习题 89
第二节命题公式与赋值 90
一、合式公式的定义 90
二、公式的赋值 91
三、真值表 91
习题 93
第三节等价式与蕴含式 94
一、等价式的概念 94
二、用真值表判断公式的等价 94
三、等价演算 95
四、蕴含式 97
习题 99
第四节范式 101
一、简单合取式和简单析取式 101
二、范式 101
三、范式的唯一性——主范式 103
四、主析取范式的作用 107
五、主析取范式与主合取范式的联系 108
习题 108
第五节联结词的完备集 109
一、n元真值函数 109
二、真值函数与命题公式的关系 110
三、联结词完备集 110
四、单元素联结词构成的联结词完备集 111
习题 112
第六节推理理论 113
一、有效推理 113
二、直接证法 113
三、间接证法 116
习题 119
第七节谓词逻辑的基本概念 120
一、个体词 121
二、谓词 121
三、量词 122
四、谓词逻辑命题符号化 122
习题 124
第八节谓词公式与翻译 125
一、谓词语言 125
二、自由与约束 126
三、闭式 126
四、谓词公式的解释 127
五、谓词公式的分类 128
习题 129
第九节谓词逻辑等值式 130
一、常用等值式 130
二、基本规则 131
三、等值演算 132
习题 134
第十节谓词逻辑的前束范式 135
习题 136
第十一节谓词逻辑推理理论 136
一、推理定律 136
二、推理规则 137
习题 140
本章小结 140
复习题三 141
兴趣阅读——数理逻辑简介 145
第四章代数系统 149
本章学习目标 149
第一节代数系统的概念 149
习题 151
第二节代数系统的运算及其性质 152
一、运算的性质 152
二、特殊元 155
习题 159
第三节半群与含幺半群 161
一、半群 161
二、含幺半群 162
习题 164
第四节群与子群 166
一、群 166
二、群的基本性质 167
三、子群 169
习题 170
第五节交换群、循环群与置换群 171
习题 173
第六节环与域 174
一、环 174
二、域 176
习题 177
第七节格的概念及性质 178
一、格的定义 178
二、子格 180
三、格的性质 181
四、作为代数系统的格 183
习题 183
第八节分配格与模格 185
一、分配格 185
二、模格 187
习题 187
第九节有界格与有补格 188
一、有界格 188
二、有补格 189
习题 190
第十节布尔代数 191
一、布尔代数的概念 191
二、布尔代数的性质 193
习题 195
本章小结 196
复习题四 197
兴趣阅读——群论的创始人伽罗华 200
第五章图论初步 202
本章学习目标 202
第一节图的基本概念 202
一、图的定义 202
二、图的相关概念和规定 203
三、顶点的度数与握手定理 204
四、图的同构、完全图与补图 206
习题 208
第二节路与回路 209
一、通路与回路 209
二、通路与回路的性质 210
三、图的连通性 211
习题 213
第三节图的矩阵表示 213
习题 217
第四节欧拉图与哈密尔顿图 218
一、欧拉图 218
二、哈密尔顿图 219
习题 221
第五节平面图 222
一、平面图的定义 222
二、欧拉公式 224
三、平面图的着色 227
习题 229
第六节树 230
一、树的定义 230
二、生成树与最小生成树 232
三、有向树 234
四、二叉树 236
习题 241
本章小结 242
复习题五 242
兴趣阅读——阿兰•麦席森•图灵与计算机 246
参考文献 247

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