高等数学（下册）

本书依据教育部颁布的《工科类本科数学基础课程教学基本要求》，根据作者多年的教学实践，按照新形势下教材改革的精神编写而成。

本书贯彻“掌握概念、强化应用”的教学原则，精选教材内容，从实际应用的需要（实例）出发，加强数学思想和数学概念与工程实际结合的特点，淡化深奥的数学理论，强化几何说明。

本书每章都有学习目标、小结、复习题、自测题等，便于学生总结学习内容和学习方法，巩固所学知识。

我国高等教育正在快速发展，教材建设也要与之适应，特别是教育部关于“高等教育面向21世纪内容与课程改革”计划的实施，对教材建设提出了新的要求。本书的编写目的就是为了适应高等教育的快速发展，满足教学改革和课程建设的需求，体现工科类教育教学的特点。

本书是编者依据教育部颁布的《工科类本科数学基础课程教学基本要求》，根据多年的教学实践，按照新形势下教材改革的精神编写的。全书贯彻“掌握概念、强化应用”的教学原则，精心选择了教材的内容，从实际应用的需要（实例）出发，加强数学思想和数学概念与工程实际结合的特点，淡化了深奥的数学理论，强化了几何说明，每章都有学习目标、小结、复习题、自测题等，便于学生总结学习内容和学习方法，巩固所学知识。

本书分上、下两册出版，内容覆盖工科类本科各专业对高等数学的需求。上册（第1～7章）内容包括：函数、极限与连续，导数与微分，微分中值定理与导数的应用，不定积分，定积分，定积分的应用，常微分方程；下册（第8～12章）内容包括：空间解析几何与向量代数，多元函数微分学及其应用，重积分，曲线积分与曲面积分，级数。书后附有积分表与习题参考答案。

本书可作为高等院校工科类本科高等数学的教材。本书若讲授全部内容，参考学时为160学时；若只讲授基本内容，参考学时为130学时，打*号的为相关专业选用的内容。

根据我国高等教育从精英教育向大众化教育转变以及现代化教育技术手段在教学中广泛应用的现状，我们对这套教材进行了立体化设计，除了提供电子教案，将尽快推出与教材配套的典型例题分析与习题解答。希望能更好地满足高校教师课堂教学和学生自主学习及考研的需要，对教和学起到良好的作用。

本书由何春江主编，牛莉、张钦礼担任副主编。各章编写分工为：张翠莲编写附录1；何春江编写第8章；张钦礼编写第9章、第10章；牛莉编写第11章、第12章。本书框架结构、编写大纲及最终审稿定稿由何春江完成。参加本书编写及大纲讨论工作的还有郭照庄、曾大有、岳雅璠、毕亚军、邓凤茹、张京轩、赵艳、毕晓华、江志超、张静、孙月芳、陈博海、聂铭伟、戴江涛、霍东升等。

在本书的编写过程中，编者参考了很多相关的书籍和资料，采用了一些相关内容，汲取了很多同仁的宝贵经验，在此谨表谢意。

由于时间仓促及作者水平所限，书中错误和不足之处在所难免，恳请广大读者批评指正，我们将不胜感激。

编 者

2015年7月

第8章 空间解析几何与向量代数 1
本章学习目标 1
8.1 空间直角坐标系与向量的概念 1
8.1.1 空间直角坐标系 1
8.1.2 向量的概念及其线性运算 4
8.1.3 向量的坐标表示 6
习题8.1 9
8.2 向量的数量积与向量积 9
8.2.1 向量的数量积 9
8.2.2 两向量的向量积 11
习题8.2 13
8.3 平面及其方程 13
8.3.1 平面的点法式方程 13
8.3.2 平面的一般式方程 15
8.3.3 平面的截距式方程 17
习题8.3 18
8.4 空间直线及其方程 18
8.4.1 直线的一般式方程 18
8.4.2 直线的点向式方程与参数方程 18
8.4.3 平面、直线的位置关系 21
8.4.4 综合举例 23
习题8.4 24
8.5 曲面及其方程 25
8.5.1 曲面方程的概念 25
8.5.2 球面 25
8.5.3 柱面 26
8.5.4 旋转曲面 28
8.5.5 几种常见的二次曲面 29
习题8.5 34
8.6 空间曲线 35
8.6.1 空间曲线的一般方程 35
8.6.2 空间曲线的参数方程 35
8.6.3 空间曲线在坐标面上的投影 37
习题8.6 38
本章小结 38
复习题8 38
自测题8 39
第9章 多元函数微分学及其应用 41
本章学习目标 41
9.1 多元函数的概念、极限及连续 41
9.1.1 平面点集及区域 41
9.1.2 多元函数的概念 42
9.1.3 多元函数的极限 44
9.1.4 多元函数的连续 45
习题9.1 47
9.2 偏导数 47
9.2.1 偏导数的概念及其计算方法 48
9.2.2 高阶偏导数 50
习题9.2 52
9.3 全微分 52
习题9.3 54
9.4 多元复合函数求导法则 54
习题9.4 58
9.5 隐函数的求导公式 58
9.5.1 一元隐函数的求导公式 58
9.5.2 二元隐函数的求导公式 59
习题9.5 59
9.6 多元函数微分学在几何上的应用 60
9.6.1 空间曲线的切线与法平面 60
9.6.2 曲面的切平面与法线 63
习题9.6 65
9.7 多元函数的极值与最值 65
9.7.1 多元函数的极值 65
9.7.2 多元函数的最值 67
9.7.3 条件极值 拉格朗日乘数法 69
习题9.7 71
本章小结 72
复习题9 72
自测题9 73
第10章 重积分 74
本章学习目标 74
10.1 二重积分的概念与性质 74
10.1.1 二重积分的概念 74
10.1.2 二重积分的性质 78
习题10.1 79
10.2 二重积分的计算 80
10.2.1 直角坐标系下二重积分的计算 80
10.2.2 二重积分在极坐标系下的计算 86
习题10.2 89
10.3 三重积分 91
10.3.1 引例 91
10.3.2 三重积分的概念 91
10.3.3 三重积分的计算 92
习题10.3 98
10.4 重积分的应用 99
10.4.1 立体的体积 99
10.4.2 曲面的面积 101
10.4.3 质心 102
10.4.4 转动惯量 103
习题10.4 104
本章小结 104
复习题10 105
自测题10 105
第11章 曲线积分与曲面积分 107
本章学习目标 107
11.1 对弧长的曲线积分 107
11.1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质 107
11.1.2 对弧长的曲线积分的计算法 109
习题11.1 112
11.2 对坐标的曲线积分 113
11.2.1 对坐标的曲线积分的概念与性质 113
11.2.2 对坐标的曲线积分的计算法 116
11.2.3 两类曲线积分之间的联系 119
习题11.2 120
11.3 格林公式及其应用 121
11.3.1 格林公式 121
11.3.2 平面曲线积分与路径无关的定义与条件 127
习题11.3 133
*11.4 对面积的曲面积分 135
11.4.1 对面积的曲面积分的概念与性质 135
11.4.2 对面积的曲面积分的计算法 136
习题11.4 139
*11.5 对坐标的曲面积分 139
11.5.1 对坐标的曲面积分的概念与性质 139
11.5.2 对坐标的曲面积分的计算法 144
11.5.3 两类曲面积分之间的联系 146
习题11.5 148
*11.6 高斯公式 148
11.6.1 高斯公式 148
11.6.2 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 150
习题11.6 151
*11.7 斯托克斯公式 152
11.7.1 斯托克斯公式 152
11.7.2 空间曲线积分与路径无关的条件 154
习题11.7 155
本章小结 156
复习题11 157
自测题11 158
第12章 级数 160
本章学习目标 160
12.1 常数项级数的概念与性质 160
12.1.1 常数项级数的概念 160
12.1.2 常数项级数的性质 162
习题12.1 164
12.2 常数项级数的敛散性 165
12.2.1 正项级数及其审敛法 165
12.2.2 交错级数及其审敛法 170
12.2.3 绝对收敛与条件收敛 170
习题12.2 172
12.3 幂级数 173
12.3.1 函数项级数的概念 173
12.3.2 幂级数及其收敛性 174
12.3.3 幂级数的运算 177
习题12.3 179
12.4 函数展开成幂级数 180
12.4.1 泰勒级数 180
12.4.2 函数展开成幂级数 182
习题12.4 186
*12.5 傅里叶级数 186
12.5.1 三角级数 187
12.5.2 函数展开成傅里叶级数 187
12.5.3 正弦级数与余弦级数 192
12.5.4 周期为2l的周期函数展开成傅里叶级数 197
习题12.5 199
本章小结 200
复习题12 202
自测题12 204
附录1 积分表 207
附录2 习题参考答案 215
参考文献 230

1. 零基础玩转国产大模型DeepSeek [徐永冰 张帅 编著]
2. 网络工程师5天修炼（适配第6版考纲） [主编　朱小平 施游]
3. 信息系统项目管理师考试32小时通关（适用第4版考纲） [薛大龙]
4. 信息系统管理工程师考试32小时通关（适配第2版考纲） [薛大龙　刘伟]
5. 土木工程材料检测实训 [洪晓江 达则晓丽 钱波]
6. 科技信息检索与论文写作实用教程 [李振华]
7. 传统山水画论解读与实践 [陈钠 著]
8. Python数据库编程 [主编 殷树友 邢 翀]
9. 计算机基础实训指导 [主编 袁春萍 朱妮]
10. 嵌入式人工智能技术应用（数字教材） [主编 胡娜 杨国勇 晏廷荣]
11. Vienna整流器技术 [桂存兵 著]
12. 变频器与伺服应用 [陈刚 叶云飞]
13. 物联网工程设计与实践 [汤琳 李敏]
14. 炉边夜话——深入浅出话AI [汪建　著]
15. 电商运营与管理 [钟肖英 陈潇]
16. Java面向对象程序设计 [主编 姜春磊 陈虹洁]
17. 信息技术基础（Windows 10+WPS Office）（微课版） [主编　石利平　田辉平　谢盛嘉]
18. 人工智能应用 [主编　陈　萍　刘培培　陈孟军]
19. 大学生职业发展与就业指导 [主编　刘志坚]
20. 高级办公应用项目教程 [主编 屈晶 赵成丽]
21. 微信小程序开发项目实战（微课版） [主编 黄龙泉 郭峰 朱倩]
22. 企业档案工作实战宝典百问百答 [华俊 卢秀英 邵甜甜 著]
23. 计算机网络原理及应用 [主编 唐继勇 叶坤 孙梦娜]
24. 大学生创业基础 [主编 王丽莉 王 杨]
25. 船舶辅机 [主编 王连海 于洋 姜淑翠]
26. 大学生就业指导 [主编 王丽莉 董宴廷]
27. 系统架构设计师章节习题与考点特训 [主编 薛大龙 邹月平]
28. 高校学生工作探索与实践 [郭亮 著]
29. 大学生情商管理 [方雄 著]
30. 2023年长沙市会展业发展报告 [主编 周栋良]