高中数学探究典例与解法精要

教育是为党育人、为国育才．新时代的教育工作者应全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，发展素质教育，努力培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人．21世纪的人才，不仅需要扎实的专业技能，更要注重终身学习能力、团队协作精神、创新思维和实践能力．高中阶段是学生思维发展的关键期，通过数学探究活动，不仅能深化对知识本质的理解，更能掌握科学的探究方法和养成严谨的思维习惯．因此，高中教师必须注重对学生核心素养的培养，使其具备适应未来社会发展的关键能力和必备品格．

数学作为基础学科，不仅是科学研究的工具，更是培养学生逻辑思维、探究能力和创新精神的重要载体．在高中阶段，如何引导学生深入理解数学知识的本质、提升数学探究能力、形成科学的思维方法，是数学教学的重要目标．

本书立足于新课程改革理念，结合学生的学习进度，以单元知识为背景，精心设计探究问题，并提供系统的解法指导，旨在帮助学生在探究中深化对知识的理解，掌握科学的研究方法，提升数学核心素养．

本书特色如下：

（1）问题导向，培养探究能力：精心设计探究问题，激发学生的求知欲，引导他们主动思考、深入探索，提升发现问题、分析问题和解决问题的能力．

（2）方法总结，提升思维水平：不仅提供问题的解答，也梳理探究方法，帮助学生举一反三，形成系统的数学思维和策略．

（3）素养为本，促进全面发展：在问题探究过程中，注重培养学生的逻辑推理、数学建模、直观想象等核心素养，在实际应用中提升数学建模能力，为其终身学习奠定坚实的基础．

希望通过学习、训练和思考，学生不仅能扎实掌握数学知识，也能自己提出有价值的问题，从而更好地提升数学探究能力，增强创新意识和实践能力，为未来的学习和发展做好充分准备．

作 者

2025年7月

前言
第一单元 集合与逻辑 1
探究问题1：扑克牌游戏中的逻辑推理 1
探究问题2：充要关系的判断 3
探究问题3：恒成立、能成立问题探究 4
探究问题4：知识拓展 5
探究问题5：新定义 6
第二单元 等式与不等式 10
探究问题6：均值不等式的拓展 10
探究问题7：均值不等式的几何意义探究 12
探究问题8：根的分布方法探究 13
探究问题9：不等式性质的应用探究 15
探究问题10：经典不等式的探究 17
第三单元 函数 20
探究问题11：著名函数的认识 20
探究问题12：抽象函数的探究 22
探究问题13：函数的性质探究——对称性、周期性 23
探究问题14：函数的新定义——不动点、稳定点 25
探究问题15：函数性质综合 27
第四单元 指数函数、对数函数与幂函数 31
探究问题16：指数式、对数式的运算探究 31
探究问题17：正余弦双曲函数的图像与性质探究 32
探究问题18：反函数的应用 33
探究问题19：函数性质的探究——凹凸性 34
探究问题20：函数的新定义 35
第五单元 平面向量 41
探究问题21：向量的相关概念与充要条件探究 41
探究问题22：向量数量积的方法探究 43
探究问题23：平面向量与三角形的心的拓展探究 45
探究问题24：奔驰定理内容与应用的探究 47
探究问题25：平面向量的等和线探究 49
第六单元 统计与概率 52
探究问题26：加入一个数后的平均数与方差变化的探究 52
探究问题27：分层抽样的平均数与方差的探究 53
探究问题28：几何概型的概率探究 55
探究问题29：抽签先后对结果影响的探究 58
探究问题30：概率在生活中的应用 59
第七单元 三角公式与三角函数 63
探究问题31：三角函数的拓展 63
探究问题32：切割函数三角函数线的探究 64
探究问题33：三角函数线的应用探究 66
探究问题34：三角变换与三角公式的应用 68
探究问题35：新定义与实际应用 71
第八单元 解三角形 76
探究问题36：解三角形解法比较的结论探究 76
探究问题37：劣构问题的未卜先知——选择与判断 77
探究问题38：三角形的面积公式探究 79
探究问题39：三角形与几何综合探究 81
探究问题40：劣构问题探究 82
第九单元 复数 84
探究问题41：复数的模与共轭的性质探究 84
探究问题42：复数三角形式的应用探究 85
探究问题43：方程的根系关系拓展 85
探究问题44：1的三次方根w的性质探究 87
探究问题45：用复数方法解决问题 88
第十单元 空间向量与立体几何 90
探究问题46：认识正方体 90
探究问题47：正方体中异面直线的距离探究 92
探究问题48：翻折问题、对称问题探究 95
探究问题49：祖暅原理求几何体体积的探究 96
探究问题50：立体几何中的求角探究——用传统方法求角 98
第十一单元 平面解析几何 103
探究问题51：直线系的认识 103
探究问题52：直线与圆的位置关系 103
探究问题53：圆锥曲线定义的源由探究 105
探究问题54：反比例函数图像是双曲线 107
探究问题55：曲线与方程拓展探究1 108
探究问题56：曲线与方程拓展探究2 111
探究问题57：椭圆的焦点三角形的探究 113
探究问题58：圆锥曲线的离心率 115
探究问题59：非对称问题探究 116
探究问题60：解析几何综合 120
第十二单元 排列组合、二项式定理 126
探究问题61：构造法证明组合数的性质 126
探究问题62：一类等式的证明方法探究 127
探究问题63：杨辉三角的性质探究 128
探究问题64：不等式的证明 130
探究问题65：常见的计数原理应用 131
第十三单元 概率统计 133
探究问题66：常见分布列的期望探究 133
探究问题67：常见分布列的方差探究 134
探究问题68：超几何分布和二项分布的期望相同的探究与理解 137
探究问题69：期望与方差的大小比较 138
探究问题70：线性回归方程与最小二乘法的探究 140
第十四单元 数列 144
探究问题71：由数列递推求数列的通项公式的探究 144
探究问题72：自然数相关的求和公式探究 148
探究问题73：等差数列和等比数列关系的探究 150
探究问题74：数列在一类不等式证明中的作用 152
探究问题75：数学归纳法在函数、不等式中的综合应用 155
第十五单元 导数 157
探究问题76：重要极限1的证明 157
探究问题77：重要极限2的证明 157
探究问题78：重要极限2的拓展认知 159
探究问题79：基本初等函数导数的证明 160
探究问题80：泰勒展开式的应用探究 161
探究问题81：构造法的应用探究 163
探究问题82：超越问题的处理方法 164
探究问题83：洛必达法则的证明和应用 165
探究问题84：积累几个常见函数与不等式 168
探究问题85：二元函数问题的探究 169
第十六单元 新定义创新题 174
探究问题86：立体几何中的轨迹问题探究 174
探究问题87：欧拉公式与正多面体 176
探究问题88：组合数的推广 179
探究问题89：空间向量的叉乘运算探究 180
探究问题90：双曲三角函数的探究 183
第十七单元 北京高考创新题解法探究 187
探究问题91：2025年高考题 187
探究问题92：2024年高考题 193
探究问题93：2023年高考题 200
探究问题94：2022年高考题 203
探究问题95：2021年高考题 207
探究问题96：2020年高考题 210
探究问题97：2019年高考题 213
探究问题98：2018年高考题 215
探究问题99：2017年高考题 218
探究问题100：2016年高考题 221

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