高等数学（下册）课后习题详解及考研题型解析

本书是围绕《高等数学》（下册）（中国水利水电出版社出版）及考研各类数学的考试内容、考试要求及历年部分真题编写的同步辅导教材。

对《高等数学》（下册）的各章分节习题及总习题进行详细解答，细致分析，帮助读者构建牢固的知识体系。

以各类数学的考研要求为准绳，精心列出典型的考研题型并给出详细的解答与细致深入的解析，帮助读者掌握各种题型的解题思路和解题技巧。

本书是围绕《高等数学》（下册）（中国水利水电出版社）及考研各类数学的考试内容、考试要求及历年部分真题编写的同步辅导教材，内容包括两部分：一是对各章分节习题及总习题进行详细解答，以帮助读者构建牢固的知识体系；二是以各类数学的考研要求为准绳，精心列出并解析典型的考研题型，其导读提示如下：

1．“考研要求”部分，是对该章考试内容的细化，列出了反映考试内容且要求考生留意的概念、性质、理论和计算方法。除了特殊标注为数学一、数学二、数学三、数学一（二）或数学二（三）的要求外，其余均为三种数学的共同要求。对于概念和理论（包括部分性质），有两种不同的关键动词：一种是“理解”—对相应的概念或理论要求较高，考生应清晰地把握基本概念，且能前后贯通，对（反映基本理论的）定理、性质等内容应能理解透彻，对于使用条件与结论应能有清楚的认识，灵活应用；另一种是“了解”—对相应的概念或理论要求较低一些，即只需要考生对相应的概念或理论有所认识即可。同样地，对于计算方法（包括部分性质的使用），也有两种不同的关键动词：一种是“掌握”—要求考生不仅能正确使用该计算方法，保证不出错，而且能熟练、灵活地运用该方法，包括掌握某些方法中的技巧点；另一种是“会用、会求”—对相应的计算方法（包括部分性质的使用）的要求相对低一些，即只要会使用、会求解，而不需要知道为什么这样用，为什么会这样求。因此考生应针对不同的要求把握复习的重点，并恰当地分配时间。

2．“题型解析”部分，则是以章为单位对往年的考研题型进行分类和梳理（有时会涉及不同章节的知识点），考生如果能对每一种题型的各个考题进行深入细致的学习研究，则可以把握该种题型的命题规律和题型特点，掌握该种题型的解题思路，从而学习解答该题型的解题技巧。通过考生对每章中所包含的各种题型的学习和思考，可逐步把握本章的知识点及考点，达到对本章各个知识点之间前后贯穿联系，触类旁通的境界。重要的是，我们对每一个考题都给出了详细的解答，对某些较难的或有典型意义的考题（可能是一类考题），在详细解答之后，给出了“解题方法及技巧”的评注，希望对考生有所帮助。

参加本书编写的是绵阳师范学院数学与计算机科学学院的何红洲、王敏、解继蓉、赵甫荣、徐辉、汪元伦、罗守双，最后由何红洲进行统筹。限于编者水平，书中的不足之处在所难免，恳请广大读者批评指正。

编 者

2015年1月

第一部分 课后习题详解

第7章 向量代数与空间解析几何 1
习题7.1 1
习题7.2 2
习题7.3 3
习题7.4 5
习题7.5 5
习题7.6 8
习题7.7 9
总习题七 11
第8章 多元函数微分法及其应用 18
习题8.1 18
习题8.2 21
习题8.3 23
习题8.4 25
习题8.5 27
习题8.6 29
习题8.7 32
习题8.8 36
*习题8.9 37
总习题八 39
第9章 重积分 45
习题9.1 45
习题9.2 46
习题9.3 48
习题9.4 51
习题9.5 54
习题9.6 56
习题9.7 58
总习题九 61
第10章 曲线积分与曲面积分 66
习题10.1 66
习题10.2 69
习题10.3 74
习题10.4 81
习题10.5 85
习题10.6 89
习题10.7 92
总习题十 99
第11章 微分方程 108
习题11.1 108
习题11.2 109
习题11.3 110
习题11.4 113
习题11.5 115
习题11.6 118
习题11.7 118
*习题11.8 121
习题11.9 122
*习题11.10 124
总习题十一 126
第12章 无穷级数 133
习题12.1 133
习题12.2 136
习题12.3 142
习题12.4 146
习题12.5 149
习题12.6 153
习题12.7 157
总习题十二 159

第二部分 考研题型解析

第7章 向量代数与空间解析几何 171
题型一 有关向量的运算 171
题型二 求平面的方程 172
题型三 求空间直线的方程 174
题型四 点、线、面的关系 175
题型五 求直线绕坐标轴旋转所形成的旋转曲面的方程 177
题型六 求柱面及投影曲线的方程 178
第8章 多元函数微分法及其应用 179
题型一 多元函数基本概念之间
关系的判定 179
题型二 具体函数的偏导数计算 182
题型三 抽象函数的偏导数计算 182
题型四 偏微分方程的变换 185
题型五 由方程或方程组所确定
的隐函数的导数计算 185
题型六 全微分的计算 188
题型七 偏导数在几何上的应用 188
题型八 梯度的计算 192
题型九 方向导数的计算 192
题型十 多元函数的极值问题和
最值问题 193
第9章 重积分 197
题型一 二次积分次序的交换 197
题型二 利用对称性计算
二重积分 198
题型三 直角坐标系下的二重
积分计算 199
题型四 极坐标系下的二重
积分计算 202
题型五 无界区域上的反常
二重积分计算 205
题型六 二重积分的应用 205
题型七 三重积分的计算及应用 206
第10章 曲线积分与曲面积分 210
题型一 对弧长的曲线积分的
计算及应用 210
题型二 对坐标的曲线积分的
计算及格林公式 212
题型三 对面积的曲面积分的
计算 219
题型四 对坐标的曲面积分计算
及高斯公式 220
题型五 斯托克斯公式 225
题型六 向量场的散度计算 226
第11章 微分方程 228
题型一 求解可分离变量的
微分方程 228
题型二 求解齐次方程 231
题型三 求解一阶线性微分方程 232
题型四 求解可降阶的二阶
微分方程 238
题型五 求解二阶常系数线性
齐次微分方程 240
题型六 求解二阶常系数线性
非齐次微分方程 241
题型七 全微分方程 247
题型八 求解一阶常系数线性差分
方程 248
题型九 常微分方程在几何和经济
中的应用 248
题型十 欧拉方程 253
题型十一 其他应用题 253
第12章 无穷级数 258
题型一 常数项级数的审敛 259
题型二 级数证明题 262
题型三 求幂级数的收敛半径和
收敛域 265
题型四 把函数展开成幂级数 267
题型五 级数求和 269
题型六 狄利克雷充分条件
的应用 274
题型七 傅里叶级数及其应用 276

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